Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа

7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4Содержит строгое систематизированное изложение основ функционального анализа и тонких вопросов теории функций действительного переменного.
Основой явился курс функционального анализа (вначале «Анализ III»), читавшийся академиком А.Н. Колмогоровым в течение ряда лет на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. 6-е изд., 1989.
Для студентов университетов, аспирантов, преподавателей, а также для научных работников в области математики и в смежных областях.Предисловия.
Элементы теории множеств
Понятие множества. Операции над множествами
Основные определения
Операции над множествамиОтображения. Разбиения на классы
Отображение множеств. Общее понятие функция
Разбиение на классы. Отношения эквивалентностиЭквивалентность множеств. Понятие мощности множества
Конечные и бесконечные множества
Счетные множества
Эквивалентность множеств
Несчетность множества действительных чисел
Теорема Кантора - Бернштейна
Понятие мощности множестваУпорядоченные множества. Трансфинитные числа
Частично упорядоченные множества
Отображения, сохраняющие порядок
Порядковые типы. Упорядоченные множества
Упорядоченная сумма упорядоченных множеств
Вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа
Сравнение порядковых чисел
Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения
Трансфинитная индукцияСистемы множеств
Кольцо множеств
Полукольцо множеств
Кольцо, порожденное полукольцом
а-алгебры
Системы множеств и отображенияМетрические и топологические пространства
Понятие метрического пространства
Определение и основные примеры
Непрерывные отображения метрических пространств. ИзометрияСходимость. Открытые и замкнутые множества
Предельные точки. Замыкание
Сходимость
Плотные подмножества
Открытые и замкнутые множества
Открытые и замкнутые множества на прямойПолные метрические пространства
Определение и примеры полных метрических пространств
Теорема о вложенных шарах
Теорема Бэра
Пополнение пространстваПринцип сжимающих отображений и его применения
Принцип сжимающих отображений
Простейшие применения принципа сжимающих отображений
Теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений
Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениямТопологические пространства
Определение и примеры топологических пространств
Сравнение топологий
Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счетности
Сходящиеся последовательности в Т
Непрерывные отображения. Гомеоморфизм
Аксиомы отделимости
Различные способы задания топо логии в пространстве. МетризуемостьКомпактность
Понятие компактности
Непрерывные отображения компактных пространств
Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространствах
Счетная компактность
Предкомпактные множестваКомпактность в метрических пространствах
Полная ограниченность
Компактность и полная ограниченность
Предкомпактные подмножества в метрических пространствах
Теорема Арцела
Теорема Пеано
Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов
Обобщенная теорема ЛрцелаНепрерывные кривые в метрических пространствахНормированные и топологические линейные пространства
Линейные пространства
Определение и примеры линейных пространств
Линейная зависимость
Подпространства
Фактор-пространства
Линейные функционалы
Геометрический смысл линейного функционалаВыпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана - Банаха
Выпуклые множества и выпуклые тела
Однородно-выпуклые функционалы
Функционал Минковского
Теорема Хана - Банаха
Отделимость выпуклых множеств в линейном пространствеНормированные пространства
Определение и примеры нормированных пространств
Подпространства нормированного пространства
Фактор- пространства нормированного пространстваЕвклидовы пространства
Определение евклидовых пространств
Примеры
Существование ортогональных базисов, ортогонализацня
Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы
Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса - Фишера
Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме
Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма
Характеристическое свойство евклидовых пространств
Комплексные евклидовы пространстваТопологические линейные пространства
Определение и примеры
Локальная выпуклость
Счетно-нормированные пространстваЛинейные функционалы и линейные операторы
Непрерывные линейные функционалы
Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах
Линейные функционалы на нормированных пространствах
Теорема Хана - Банаха в нормированном пространстве
Линейные функционалы в счетно-нормиро-ваниом пространствеСопряженное пространство
Определение сопряженного пространства
Сильная топология в сопряженном пространстве
Примеры сопряженных пространств
Второе сопряженное пространствоСлабая топология и слабая сходимость
Слабая топология и слабая сходимость в линейном топологическом пространстве
Слабая сходимость в нормированных пространствах
Слабая топология и слабая сходимость в сопряженном пространстве
Ограниченные множества в сопряженном пространствеОбобщенные функции
Расширение понятия функции
Пространство основных функций
Обобщенные функции
Действия над обобщёнными функциями
Достаточность запаса основных функций
Восстановление функции по производной. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций
Некоторые обобщенияЛинейные операторы
Определение и примеры линейных операторов
Непрерывность и ограниченность
Сумма и произведение операторов
Обратный оператор, обратимость
Сопряженные операторы
Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы
Спектр оператора. РезольвентаКомпактные операторы
Определение и примеры компактных операторов
Основные свойства компактных операторов
Собственные значения компактного оператора
Компактные операторы в гильбертовом пространстве
Самосопряженные компактные операторы в НМера, измеримые функции, интеграл
Мера плоских множеств
Мера элементарных множеств
Лебегова мера плоских множеств
Некоторые дополнения и обобщенияОбщее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Аддитивность и а-аддитивность
Определение меры
Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо
а-аддитивностьЛебегово продолжение меры
Лебегово продолжение меры, определенной на полукольце с единицей
Продолжение меры, заданной на полукольце без единицы
Расширение понятия измеримости в случае а-конечной меры
Продолжение меры по Жордану
Однозначность продолжения мерыИзмеримые функции
Определение и основные свойства измеримых функций
Действия над измеримыми функциями
Эквивалентность
Сходимость почти всюду
Теорема Егорова
Сходимость по мере
Теорема Лузина. С-свойствоИнтеграл Лебега
Простые функции
Интеграл Лебега для простых функций
Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры
а-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега
Предельный переход под знаком интеграла Лебега
Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры
Сравнение интеграла Лебега с интегралом РиманаПрямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини
Произведения систем множеств
Произведения мер
Выражение плэской меры через интеграл линейной меры сече ний и геометрическое определение интеграла Лебега
Теорема ФубиниНеопределенный интеграл Лебега. Теория дифференцирования
Монотонные функции. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу
Основные свойства монотонных функций
Дифференцируемость монотонной функции
Производная интеграла по верхнему пределуФункции с ограниченным изменением
Производная неопределенного интеграла Лебега
Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерыв ные функцииИнтеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона-Никодима
Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана
Основные типы зарядов
Абсолютно непрерывные за ряды. Теорема Радона - НикодимаИнтеграл Стилтьеса
Меры Стилтьеса
Интеграл Лебега - Стилтьеса
Некоторые применения интеграла Лебега - Стилтьеса в теории вероятностей
Интеграл Римана - Стилтьеса
Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерывных функцийПространства суммируемых функций
Пространство L1
Определение и основные свойства пространства L1
Всюду плотные множества в L1Пространство L2
Определение и основные свойства
Случай бесконечной меры
Всюду плотные множества в L2. Теорема об изоморфизме
Комплексное пространство L2
Сходимость в среднем квадратичном н ее связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей
Ортогональные системы функций в L2.Ряды по ортогональным системам:
Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрические системы иа отрезке [0, л]
Ряд Фурье в комплексной форме
Многочлены Лежандра
Ортогональные системы в произведениях. Кратные ряды Фурье
Многочлены, ортогональные относительно данного веса
Ортогональный базис в пространствах L2 (-оо, оо) и L2(0, оо).
Ортогональные многочлены с дискретным весом
Системы Хаара и Радемахера - УолшаТригонометрические ряды. Преобразование Фурье
Условия сходимости ряда Фурье
Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке
Условия равномерной сходимости ряда Фурье (412).Теорема Фейера
Теорема Фейера
Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейерштрасса
Теорема Фейера для пространства L1Интеграл Фурье
Основная теорема
Интеграл Фурье в комплексной формеПреобразование Фурье, свойства и применения
Преобразование Фурье и формула обращения
Основные свойства преобразования Фурье
Полнота функций Эрмита и Лагерра
Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций
Преобразование Фурье и свертка функций
Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности
Преобразование Фурье функций нескольких переменныхПреобразование Фурье в пространстве L2 (-оо, оо)
Теорема Планшереля
Функции ЭрмитаПреобразование Лапласа
Определение и основные свойства преобразования Лапласа
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод)Преобразование Фурье - Стилтьеса
Определение преобразования Фурье - Стилтьеса
Применения преобразования Фурье - Стилтьеса в теории вероятностейПреобразование Фурье обобщенных функцийЛинейные интегральные уравнения
Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям
Типы интегральных уравнений
Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениямИнтегральные уравнения Фредгольма
Интегральный оператор Фредгольма
Уравнения с симметрическим ядром
Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер
Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами
Уравнения Вольтерра
Интегральные уравнения первого родаИнтегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма
Спектр компактного оператора в Н
Отыскание решения в виде ряда по степеням Я. Детерминанты ФредгольмаЭлементы дифференциального исчисления в линейных пространствах
Дифференцирование в линейных пространствах
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)
Слабый дифференциал (дифференциал Гато)
Формула конечных приращений
Связь между слабой и сильной дифференцируемостью
Дифференцируемые функционалы
Абстрактные функцил
Интеграл
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Формула ТейлораТеорема о неявной функции и некоторые ее применения
Теорема о неявной функции
Теорема о зависимости решения дифференциального уравнение от начальных данных
Касательные многообразия. Теорема ЛюстерникаЭкстремальные задачи
Необходимое условие экстремума
Второй дифференциал. Достаточные условия экстремума функционала
Экстремальные задачи с ограничениямиМетод НьютонаДополнение. Банаховы алгебры (В. М. Тихонов)
Определение и примеры банаховых алгебр
Банаховы алгебры, изоморфизмы банаховых алгебр
Примеры банаховых алгебр
Максимальные идеалыСпектр и резольвекта
Определения и примеры
Свойства спектра
Теорема о спектральном радиусеНекоторые вспомогательные результаты
Теорема о фактор-алгебре
Три леммыОсновные теоремы
Линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы
Топология во множестве M. Основные теоремы
Теорема Винера; упражнения
Предметный указатель
Список литературы