Арнольд В.И. Цепные дроби

М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2001. — 40 стр. — Библиотека "Математическое просвещение", выпуск 14.Теория цепных дробей связана с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики. В брошюре рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ей число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Рассказано также о том, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, .). В заключительном разделе брошюры содержится обзор результатов, связанных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время.Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 9-11 классов 2 декабря 2000 года на Малом мехмате МГУ.Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей, а отчасти она будет интересна и профессиональным математикам.Содержание:Что такое цепная дробь.
Цепная дробь для числа π.
Геометрическая теория цепных дробей.
Алгоритм "вытягивания носов".
Две леммы геометрии чисел.
Теорема Кузьмина.
Золотое сечение.
Геометрия теоремы Лагранжа: случай общих квадратичных иррациональностей.
Многомерные цепные дроби.
Обобщение теоремы Лагранжа.
Обобщение статистики элементов цепной дроби.
Цепные дроби и градуированные алгебры.
Литература.