Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть 1. Основные операции анализа

2-е изд. — Пер. с англ. — Под ред. Ф. В. Широкова. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 344 с.Книга разделена на две части. Первая из них содержит изложение основных вопросов комплексного анализа. Вторая часть посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций. Хотя за более чем сорок, прошедшие с выхода первого русского издания, появилось много книг и справочников по специальным функциям , книга Уиттекера и Ватсона остается непревзойдённой по широте охвата и чёткости комплексной ("современной") точки зрения на специальные функции.
В книге отсутствуют, однако, такие методы теории функций комплексного переменного, как, скажем, метод конформных отображений и метод перевала, играющие важную роль в современной теории специальных функций и в её приложениях. В этом смысле книга не является исчерпывающей. Некоторые главы, как, например, глава о тригонометрических рядах или глава об интегральных уравнениях, сейчас были бы написаны по-иному.
Основная цель книги в целом - научить читателя обращаться со специальными функциями так же свободно, как он обращается с элементарными функциями, к которым он только и приучен школой и, увы, университетом. Специальные функции в вещественном анализе обладают "жёсткостью". Методами вещественного анализа можно, например, разложить котангенс в ряд элементарных дробей. Однако решение каждой такой задачи требует своего искусственного приёма. Только при комплексном подходе "жёсткие" функции вещественного анализа становятся "пластическими". Метод комплексного переменного позволяет (естественным способом! ) преобразовать ряд в произведение, произведение превратить в ряд элементарных дробей, ряд элементарных дробей просуммировать и вновь свернуть в функцию и т. п. Этой комплексной "пластике" и учит читателя книга Уиттекера и Ватсона.
Огромную роль в книге играют примеры и задачи (их около тысячи в обеих частях). Трудные, а иногда и очень трудные выкладки влекут за собой свободное владение аналитическим аппаратом.Комплексные числа.
Теория сходимости.
Непрерывные функции и равномерная сходимость.
Теория интеграла Римана.
Основные свойства аналитических функций; теоремы Тейлора, Лорана и Лиувилля.
Теория вычетов и приложение ее к вычислению определенных интегралов.
Разложение функции в бесконечные ряды.
Асимптотическое разложение и суммируемые ряды.
Ряды Фурье и тригонометрические ряды.
Линейные дифференциальные уравнения.
Интегральные уравнения.
Элементарные трансцендентные функции.