Глухов М.M., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. Том 2

Учебник. В 2-х т. — М.: Гелиос АРВ, 2003. — 416 с.: ил. — ISBN 8-85438-072-2.Учебник содержит полное и систематическое изложение материала, входящего в федеральный компонент дисциплины «Алгебра» Государственных образовательных стандартов по специальностям «Криптография» и «Компьютерная безопасность». В отличие от традиционных курсов высшей алгебры, изучаемых на математических факультетах университетов, данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических объектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.
Том II, наряду с традиционным для математических специальностей материалом, содержит такие важные для специалистов по защите информации разделы, как теория конечных полей, многочлены над конечными полями, группы подстановок, определяющие соотношения групп, линейные рекуррентные последовательности над конечными полями и кольцами, графы линейных преобразований конечных пространств и др. Во втором томе также приведен перечень опечаток первого тома.
Большое внимание уделяется алгоритмам решения рассматриваемых задач, которые, как правило, сопровождаются примерами. В конце каждой главы приведены задачи (в основном теоретического характера), ориентированные на закрепление и углубление изложенных результатов.Предисловие
Векторные пространства
Определение векторного пространства. Базис пространства
Подпространства векторного пространства
Изоморфизмы векторных пространств
Конечномерные пространства
Подпространства конечномерного пространства
Факторпространства и многообразия
ЗадачиСистемы линейных неравенств
Некоторые свойства систем линейных уравнений
Системы линейных неравенств и сведение их к системам линейных уравнений
Критерий совместности системы линейных неравенств
Системы однородных линейных неравенств
ЗадачиЛинейные преобразования векторных пространств
Линейные отображения векторных пространств
Линейные преобразования векторных пространств
Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен линейного преобразования
Многочлены, аннулирующие преобразование.
Минимальный многочлен
Минимальный многочлен вектора относительно линейного преобразования
Инвариантные подпространства. Циклические подпространства
Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств
ЗадачиПодобие матриц над полем
Критерий подобия матриц над полем
Каноническая форма полиномиальной матрицы
Нормальные формы матриц над полем
Жордановы матрицы
Стохастические матрицы
ЗадачиЕвклидовы пространства
Евклидово вещественное пространство
Ортогональные системы векторов, ортогонализация
Ортогональные подпространства. Ортогональное дополнение. Расстояние между многообразиями
Матрица Грама системы векторов. Описание всех скалярных произведений
Изометричность евклидовых пространств
Евклидово комплексное (унитарное) пространство
ЗадачиЛинейные преобразования конечномерных евклидовых пространств
Преобразование, сопряженное к данному.
Самосопряженные и изометрические преобразования
Нормальные преобразования
Свойства самосопряженных преобразований
Свойства изометрических преобразований
ЗадачиКвадратичные формы
Общие свойства квадратичных форм. Канонический вид
Квадратичные формы над полями действительных и комплексных чисел
ЗадачиЭлементы теории колец
Подкольца и операции над ними
Характеристика кольца
Идеалы и операции над ними
Простые кольца
Конгруэнции и идеалы колец. Факторкольца
Гомоморфизмы колец
Разложение кольца в прямую сумму
Замена подкольца изоморфным ему кольцом
ЗадачиОсновы теории полей
Подполя и расширения полей
Поля частных
Простые поля
Классификация расширений поля
Простые расширения полей
Поля разложения многочлена
ЗадачиКонечные поля и многочлены над ними
Основные свойства конечных полей
Неприводимые многочлены над конечными полями
Критерий неприводимости многочлена над конечным полем
Число неприводимых многочленов данной степени
Некоторые методы построения неприводимых многочленов над конечным полем
ЗадачиЗадание групп образующими элементами и определяющими соотношениями
Общая конструкция группы, заданной образующими элементами и определяющими соотношениями
Задание произвольной группы системами образующих элементов и определяющих соотношений
Переход от одного задания группы к другому заданию. Теорема Тице
Описание конечно определенных абелевых групп
О ширине и длине конечной группы относительно заданной системы образующих
ЗадачиГруппы подстановок (дополнение)
Подстановочные представления конечных групп
Регулярные группы подстановок
Кратно транзитивные группы подстановок
Примитивные и импримитивные группы подстановок
ЗадачиЛинейные рекуррентные последовательности
Основные определения. Семейство ЛРП с данным характеристическим многочленом и его базисы
Умножение последовательности на многочлен.
Генератор ЛРП
Минимальный многочлен и аннулятор ЛРП
Соотношения между семействами ЛРП с различными характеристическими многочленами.
Биномиальный базис пространства ЛРП над полем
Представление ЛРП над конечным полем с помощью функции "след"
Периодические последовательности
Периодические многочлены. Периодичность ЛРП над конечным кольцом
Вычисление периода и длины подхода ЛРП над конечным полем
ЛРП максимального периода над конечным полем
Цикловой тип семейства ЛРП с реверсивным характеристическим многочленом над конечным кольцом
ЛРП над кольцами вычетов
Распределение элементов на циклах линейных рекуррент
ЗадачиЛинейные последовательности и граф линейного преобразования конечного векторного пространства
Период и длина подхода линейной последовательности
Графы преобразований и их числовые характеристики
Декартово произведение графов преобразований и его числовые характеристики
Параметры графа линейного преобразования
Задачи
Указатель имен
Предметный указатель
Литература учебная
Литература научная