Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа

М.: Издательство Академии наук СССР, 1962. — 136 с.Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа
В предлагаемой вниманию читателей монографии я излагаю новый подход к проблеме существования и устойчивости для различных классов краевых задач теории уравнений математической физики. Этот подход опирается на ряд геометрических свойств конформных и квазиконформных отображений и использует общую принципиальную схему решения вариационных задач, выдвинутую впервые Д. Гильбертом и широко развитую Л. Тонелли.
Метод стоит на грани между классическими методами анализа с его конкретными оценками и приближенными формулами и методами теории функций действительного переменного с их качественным характером и общим теоретико-множественным рассмотрением.
В силу этого мне хочется подчеркнуть заранее, что при составлении монографии я стремился построить ее так, чтобы ею могли воспользоваться как математики, так и механики, далекие от теории функций. По-видимому, для математиков будет представлять интерес метод доказательств теорем существования и единственности (главы I, II, III) и общая теория квазиконформных отображений; математики могут свободно выпустить разделы, касающиеся приближенных методов и частных исследований конкретных задач по теории струй и теории волн.
Механики, далекие от теории функций, могут свободно выпустить общую схему доказательства теорем существования и фиксировать свое внимание на приближенных формулах конформных и квазиконформных отображений, которые могут быть полезными (с приведенными в монографии методами оценки погрешностей) при решении многих конкретных задач механики сплошной среды.Введение.
Вариационный принцип.
Достаточные условия.
Обобщения.
Вариационные принципы теории конформных отображений.
Принципы Линделёфа и Монтеля.
Механическая интерпретация.
Количественные оценки.
Поведение конформного отображения на границе.
Граничные производные.
Узкие полосы.
Поведение растяжения в точках экстремального наклона и экстремальной кривизны.
Гидродинамические приложения.
Струйные течения.
Обобщения.
Обтекание со срывом струй.
Волновые движения жидкости.
Теория волн в линейной постановке.
Волны Релея.
Точная теория.
Обобщения.
Квазиконформные отображения.
Понятие квазиконформного отображения.
Производные системы.
Сильная эллиптичность.
Линейные системы.
Отображения с ограниченным искажением.
Простейший класс линейных систем.
Простейший класс нелинейных систем.
Принцип максимума.
Принцип Шварца–Линделёфа.
Количественные уточнения.
Индуктивное доказательство принципа Линделёфа.
Теорема существования.
Обобщения.
Гидродинамические приложения.
Литература.