Чирский В.Г. Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу. 1 семестр

Учебное пособие. — М.: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (МГУ), 2008. — 157 с.Учебное пособие включает в себя билеты (32 шт. ) и ответы, для студентов общего потока 1-го семестра.
Это пособие написано на основе тех лекций, которые я прочитал в первом семестре 2008 года студентам первого курса.
Цель его написания – облегчить процесс подготовки к экзамену, оно поможет привести в систему Ваши знания. Поэтому в пособие включён не весь лекционный материал, а лишь та его часть, которая вошла в экзаменационные билеты и, следовательно, оно не является полной заменой Вашему собственному конспекту.
Обращу Ваше внимание на то, что предыдущие версии якобы «конспекта моих лекций» содержат вопиющие ошибки. Таких «лекций» я не читал. «Конспектов» тем более не писал. Те, кто рискнут по ним готовиться к экзамену – смелые, но безответственные люди.
Конечно, этот текст тоже может содержать опечатки. Я буду благодарен всем, кто отметит их, или выскажет другие замечания.Множества и операции над ними.
Декартово произведение множеств. Бинарные отношения.
Отображения и их свойства.
Множество действительных чисел. Аксиома отделимости. Натуральные числа. Аксиомы Пеано. Целые числа. Рациональные числа. Действительные числа. Аксиома отделимости.
Верхняя и нижняя грани. Стягивающиеся отрезки.
Предельные точки.
Приближенные вычисления. Погрешность. Десятичная запись приближенных чисел. Правила округления чисел.
Предел последовательности. Бесконечно малые последовательности. Арифметические свойства предела.
Предельный переход в неравенствах. Предел монотонной ограниченной последовательности.
Число e. Неравенство Бернулли.
Критерий Коши существования предела последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Непрерывность функции в точке. Непрерывность сложной функции (композиции функций). Свойство сохранения неравенства (знака). Свойство локальной ограниченности. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Определение предела функции, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах. Свойства бесконечно малых. Арифметические свойства предела. Теорема о зажатой переменной. Критерий Коши для функции.
Вычисление lim sin х/х. Первый замечательный предел. Предел монотонной ограниченной функции. Непрерывность элементарных функций.
Символы o, O. Вычисление lim ln (1+х)/х…
Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции.
Ограниченность непрерывной на отрезке функции.
Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
Производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства.
Производные элементарных функций, обратной функции, сложной функции, параметрически заданной функции.
Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Геометрический и механический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Последовательные производные. Линейное свойство производных высших порядков. n-я производная произведения. Вторая производная функции, заданной параметрически. Дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума.
Теоремы Лагранжа, Коши. Критерий постоянства функции.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Разложения функций e^x, sinx, cosx, lnx, (1+x)µ.
Правила Лопиталя.
Монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции.
Выпуклость графика функции.
График изотермы газа Ван-дер Ваальса. График межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса.