Клейн Феликс. Высшая геометрия

М.; Л: Государственное объединенное научно-техническое изд-во, 1939. — 400 с.Книга выдающегося немецкого математика Ф.Х. Клейна (1849-1925) создана на основе лекций по высшей геометрии, прочитанных им в Гёттингенском университете и подготовленных к печати его учениками и последователями. Автор разделяет геометрию на две отдельные части: геометрия в ограниченной части пространства, к которой относятся почти все применения дифференциальных и интегральных исчислений, и геометрия в полном пространстве, к которой относится теория алгебраических образов. Обе части подробно рассмотрены в книге, параграфы которой расположены таким образом, чтобы читатель, знакомясь с важнейшими понятиями геометрии, видел, как они развивались с течением времени и какие успехи вследствие этого делала данная область науки.
Предназначена для специалистов — математиков и физиков, использу­ющих в своих исследованиях применения геометрии, а также для студентов и аспирантов.Теоретико-групповое построение геометрии Клейна, как он его впервые набросал в 1872 г. в своей "Эрлангенской программе" и затем подробнее разработал в 1893 г. в своем "Введении в высшую геометрию", является в настоящее время столь же важным и жизненным, как и тогда для дальнейшего развития геометрии, а так же и физики. Поэтому, быть может, многие будут приветствовать новое издание этих лекций. Чтобы не нарушить личного стиля работы Клейна, я внес очень мало изменений и добавлений в прежнее издание "первого тома". Напротив, мне пришлось целиком выпустить лишь едва связанный с ним "второй том", который содержал введение в теорию непрерывных и дискретных групп и который потребовал бы полной переработки. Его место заняла "третья часть" настоящей книги, в которой изложены некоторые новейшие геометрические исследования. При этом мне оказали любезное содействие некоторые геометры: именно II и IV отделы разработал Радон (Эрланген), III — в существенном Артин и V — Шрейер (Гамбург).
Гамбург, весна 1926 г. В. Бляшке.Предисловие.
Введение.
Общие предварительные замечания.
Основные теоретико-функциональные понятия.
Основное разделение геометрии.
Дальнейшие относящиеся сюда сведения.Первая часть. Общее понятие координат.
Точечные координаты.
Линейные координаты.
Работы Плюкера.
Общие криволинейные координаты.
Эллиптические координаты.
Геодезические линии на поверхностях второй степени.
Построения из нитей Гревса и Штауде.
Теория кругов и шаров. Исторические замечания.
Элементарная геометрия круга.
Преобразования посредством обратных радиусов (инверсия).
Пентасферические координаты.
Применения пентасферических координат.
Циклиды Дюпена.
Классификация рассмотренных до сих пор объектов аналитической геометрии.
Билинейные уравнения и двойственность.
Нуль-система.
Применения нуль-системы.
Геометрическое истолкование дифференциальных уравнений.
Замена пространственных элементов.
Общий принцип Плюкера.
Прямолинейные координаты.
Линейные многообразия линейчатой геометрии.
Линейный комплекс, как пространственный элемент.
Привлечение вспомогательных средств из теории квадратичных форм.
Сравнение с пентасферическими координатами.
Геометрия сфер Ли.
Соотношение между асимптотическими линиями и линиями кривизны.
Исторические замечания о геометрии сфер.
Привлечение многомерного пространства Грассманом и Кели.
Круги в пространстве, пентацикл Стефаноса.
Коннексы Клебша.
Основные формулы для кривизны поверхности.
Введение плоскостных координат в дифференциальные уравнения.Вторая часть. Теория преобразований.
Точечные преобразования пространства.
Линейные преобразования.
Перспектограф и пантограф.
Рельефная перспектива и перспектива изображения.
Ньютонова классификация кривых третьего порядка.
Понселе и учение о двойных отношениях.
Штейнер и Шаль.
Кели и Штаудт.
О теории инвариантов.
W-кривые Клейна и Ли.
Проективная дифференциальная геометрия.
Теория конфокальных конических сечений в мнимой области.
Мнимые коллинеации.
Стереографическая проекция.
Изотропные кривые и конформные отображения поверхностей.
Теория минимальных поверхностей Ли.
Новейшие рассмотрения стереографической проекции и тетрациклических координат.
Группа сродства кругов Мебиуса.
Теорема Лиувилля о конформных отображениях пространства.
Принцип перенесения Гесса.
Плоские конфигурации.
Взаимные планы сил графической статики.
Общие аналитические точечные преобразования.
Классификация выражений Пфаффа.
Проблема Пфаффа.
Введение квадратичных дифференциальных форм Гауссом.
Дифференциаторы Бельтрами.
Пространство Римана.
Дальнейшая литература о квадратичных дифференциальных формах.
Кремоновы преобразования.
Замена пространственных элементов.
Двойственное преобразование, как преобразование прикосновения.
Первое введение общих преобразований прикосновения.
Обе группы преобразований геометрии сфер.
Изотропная проекция Rn+1 на Rn.
Изотропная проекция R3 на R2.
Группа Лагерра и эквилонгальные отображения на плоскости.
Перенесение на высшие размерности.
Группа геометрии прямых линий Плюкера.
Связь между геометрией прямых линий Плюкера и геометрией сфер Ли.
Элементарно-геометрическое рассмотрение прямолинейно-сферического преобразования.
Теория характеристик дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка.
Дифференциальные уравнения с частными производными геометрии линий и геометрии сфер.
Общая теория преобразований прикосновения.
Дальнейшие примеры преобразований прикосновения.
Подэры.
Зубчатые колеса.
Преобразования прикосновения, сохраняющие периметр.
Вариации постоянных.
Теория инвариантов преобразований прикосновения.Третья часть. Примеры геометрических исследований из последних десятилетий. дополнения.
Геометрия линий Штуди.
Принцип перенесения Штуди.
Аналоги дуальным пооективитетам на плоскости в геометрии линий.
Аналоги дуальному сродству окружностей в геометрии линий. Литература.
Евклидово отображение эллиптической неевклидовой пространственной геометрии.
Кинематическое отображение.Радоновы механические соображения о параллелизме Леви-Чивита.
Уравнения движения.
Асимптотическая интеграция.
Параллельное перенесение.
Применение параллельного перенесения в теории поверхностей.
Выведение параллельного перенесения из внутренней геометрии поверхности.
Из топологии: артиновы косы.
Доказательство Александера теоремы Титце.
Проблема узлов.
Группа кос.
Определяющие соотношения.
Замкнутая коса.
Свободное произведение групп.
Косы третьего порядка.О дифференциальных уравнениях Монжа. Их отношение к теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка и к вариационному исчислению.
Уравнение Гамильтона.
Соответствующие преобразования прикосновения.
Введение в теорию элементарных делителей.
Линейные подстановки и исчисление матриц.
Геометрическое истолкование линейных подстановок.
Нормальная форма линейных преобразований.
Пары квадратичных форм.Именной и предметный указатель.