Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). Части 1-2

М.: Наука, 1970. — 528 с.Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания. В гл. 1 дается аксиоматическое построение теории вещественных чисел. В гл. 2 излагаются элементы теории множеств и теории математических структур. Гл. 3 посвящена метрическим пространствам. В гл. 4 строится общая теория пределов, использующая упрощенную схему фильтров Картана. В гл. 5 рассматривается понятие непрерывности и изучаются элементарные трансцендентные функции. В гл. 6 излагается теория рядов - числовых и функциональных. Гл. 7-8 посвящены собственно дифференциальному исчислению, а гл. 9 - интегральному исчислению. Гл. 10 вводит читателя в теорию аналитических функций; ее методы используются, в частности, в гл. 11 о несобственных интегралах.Введение в анализВещественные числа
Первоначальные сведения о множествах
Аксиомы вещественных чисел
Следствия из аксиом сложения
Следствия из аксиом умножения
Следствия из аксиом порядка
Следствия из аксиомы о верхней грани
Принцип Архимеда и его следствия
Принцип вложенных отрезков Кантора
Расширенная область вещественных чисел
Дополнение к главе
1. Логическая символикаЭлементы теории множеств
Операции над множествами
Эквивалентность множеств
Счетные множества
Множества мощности континуума
Понятие о математической структуре. Изоморфизм структур
Пространство n измерений
Комплексные числа
Общее понятие функцииМетрические пространства
Определения и примеры
Открытые множества
Сходящиеся последовательности и гомеоморфизм
Предельные точки
Замкнутые множества
Всюду плотные множества и замыкания
Полные пространства
Пополнение
КомпактностьОбщая теория пределов
Определение предела
Общие теоремы о пределах
Пределы числовых функций
Предельные точки функции
Функции, неубывающие по направлению
Основные теоремы о числовых последовательностях
Пределы векторных функцийНепрерывные функции
Непрерывные функции на метрическом пространстве
Непрерывные числовые функции на числовой оси
Монотонные функции
Логарифм
Экспонента
Тригонометрические функции
Приложения тригонометрических функций
Векторные непрерывные функции векторного переменного
Последовательности функцийРяды
Числовые ряды. Знакоположительные ряды
Ряды с любыми вещественными членами
Действия с рядами
Ряды векторов
Ряды функций
Степенные рядыДифференциальное и интегральное исчислениеПроизводная
Определение производной
Второе определение производной
Дифференциал
Теоремы о конечных приращениях
Расположение кривой относительно своей касательной
Правила ЛопиталяВысшие производные
Определения и примеры
Формула Тейлора
Анализ поведения функции в окрестности данной точки
Высшие дифференциалы
Ряд Тейлора
Экспонента и тригонометрические функции в комплексной области
Гиперболические функцииИнтеграл Римана
Определение интеграла и теоремы существования
Зачем нужен интеграл?
Интеграл как функция верхнего предела
Техника неопределенного интегрирования
Вычисление определенных интегралов
Приложения интеграла
Интегрирование и дифференцирование последовательности функций
Интегрирование и дифференцирование по параметру
Криволинейные интегралыАналитические функции
Определения и примеры
Криволинейные интегралы от комплексных функций
Теорема Коши и ее следствия
Вычеты и изолированные особые точки
Отображения и элементарные функцииНесобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго и третьего рода
Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Несобственные интегралы, содержащие параметр
Гамма-функция и бета-функция ЭйлераУказания и ответы к задачам
Алфавитный указатель