Шилов Г.Е. Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных). Части 1-2

М.: Наука, 1972. — 624 с.Как и предыдущие книги того же автора - «Математический анализ (конечномерные линейные пространства)» (М., 1969) и «Математический анализ (функции одного переменного)» (ч.ч. 1-2 - М., 1969, ч. 3 - М., 1970), - эта книга представляет собою учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса; она рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания. В гл. 1 строится теория дифференцирования для функций от конечного или даже бесконечного множества независимых переменных. В гл. 2 рассматриваются высшие производные. В гл. 3 строится теория интегрирования для функций нескольких переменных. На основе построенного аппарата в гл. 4 излагается классический векторный анализ, в гл. 5 - классическая дифференциальная геометрия, которая развивается в гл. 6 в риманову геометрию. В гл. 7 излагаются избранные вопросы анализа на дифференцируемых многообразиях, в частности теория дифференциальных антисимметричных форм с соответствующими интегральными теоремами.Дифференциальное и интегральное исчислениеПроизводные первого порядка
Непрерывные функции
Дифференцируемые функции
Общие теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема о среднем
Теорема о неявной функции
Дифференциальные уравнения
Локальная структура дифференцируемой функции
Стационарные значения числовых функцийВысшие производные
Высшие производные числовой функции n переменных
Общее определение высших производных
Свойства высших производных
Теорема Тейлора и ее обращение
Теорема Фробениуса
Системы уравнений с частными производными и геометрические приложенияИнтегрирование в многомерных пространствах
Интеграл Римана на нагруженном пространстве
Теоремы существования
Жордановы множества
Отображения нагруженных пространств
Интеграл Римана в евклидовом пространстве
Интеграл по поверхности
Несобственные интегралыСвязь между интегрированием и дифференцированием
Формула Остроградского
Вихрь векторного поля
Оператор Гамильтона
Некоторые типы векторных полей
Гармонические поля и функции
Построение векторного поля в R₃ по его вихрю и расходимостиОт линейных пространств к многообразиямКлассическая дифференциальная геометрия
Первая квадратичная форма
Вторая квадратичная форма
Связь первой и второй квадратичных форм
Геодезические линии и связанные с ними координатные системы
Двумерные поверхности постоянной кривизны
Параллельное перенесение векторов и теорема Леви-ЧивитаРиманова геометрия
Алгебраическая теория тензоров
Элементарное дифференцируемое многообразие
Элементарное риманово пространство
Пространство с аффинной связностью
Кривизна
Римановы пространства постоянной кривизныДифференцирование и интегрирование на многообразиях
Антисимметричные формы
Дифференциальные формы
Интегральные теоремы
Кодифференцирование