Родина Т.В., Трифанова Е.С. Курс лекций по математическому анализу

Учебное пособие. — Под редакцией проф. И. Ю. Попова. — СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. — 183 с.Предлагаемое пособие предназначено для студентов специальности "Прикладная математика и информатика". В пособии представлен курс лекций по математическому анализу, читаемых для студентов этой специальности в первом семестре. Данное пособие может быть использовано студентами других специальностей, желающими углубить свои знания в области математического анализа.Логическая символика
Бином Ньютона
Множества
Множество
Подмножество. Равенство множеств
Операции над множествами
Свойства операций над множествами
Отображения множеств
Аксиомы вещественных чисел
Аксиомы сложения
Аксиомы умножения
Аксиома, связывающая сложение и умножение
Аксиома порядка
Аксиома непрерывности
Ограниченность числовых множеств
Счетные и несчетные множества
Понятие о метрическом пространстве
Два замечательных неравенства
Определение метрического пространства
Точки и множества в метрическом пространстве
Предел последовательности
Последовательность точек метрического пространства.
Предел последовательности
Основные определения. Способы задания
Предел последовательности в метрическом пространстве
Бесконечно малые последовательности. Критерий существования предела числовой последовательности
Единственность предела сходящейся последовательности...
Ограниченность сходящейся последовательности...
Сходимость последовательности в Rm
Свойства сходящихся числовых последовательностей, связанные с неравенствами
Теорема о трех последовательностях
Теорема Кантора
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Арифметические свойства предела
Бесконечно малая последовательность
Бесконечно большая последовательность
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями
Арифметические свойства пределов
Неопределенности
Предел монотонной последовательности. Число e
Определения
Теорема Вейерштрасса
Число e
Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Частичные пределы
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Критерий Коши
Понятие о числовом ряде
Основные понятия
Положительные ряды
Компактные множества
Предел и непрерывность функции
Функция одной вещественной переменной
Определения
Сложная функция
График функции
Обратная функция
Способы задания функции
Основные свойства функций
Определения предела функции
Определение предела функции по Коши
Определение предела функции по Гейне
Эквивалентность определений
Бесконечные пределы
Пределы на бесконечности
Односторонние пределы
Свойства пределов функции
Ограниченность функции, имеющей предел
Предельный переход в неравенстве
Теорема о сжатой переменной
Теорема отделимости от нуля
Арифметические свойства пределов
Пределы монотонной функции
Бесконечно малые функции. Критерий существования предела
Критерий Коши
Непрерывность функций
Непрерывность функции в точке
Точки разрыва
Критерий непрерывности функции
Непрерывность функции на множестве
Равномерная непрерывность
Элементарные функции и их непрерывность
Определения
Исследование простейших функций
Некоторые важные пределы
Сравнение функций. Символы Ландау
Сравнение функций
Эквивалентность функций
Производная функции одной переменной и ее приложения
Производная и дифференцируемость функции
Определение производной
Задачи, приводящие к производной
Дифференцируемость функции
Дифференциал
Односторонние и бесконечные производные
Правила дифференцирования. Таблица производных
Дифференцирование суммы, произведения, частного
Дифференцирование обратной функции
Дифференцирование сложной функции
Таблица производных
Логарифмическое дифференцирование
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Производные и дифференциалы высших порядков
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Свойства дифференцируемых функций
Экстремумы
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Формула Тейлора
Многочлен Тейлора
Формула Тейлора
Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора-Маклорена
Правило Лопиталя
Неопределенность вида 0/0
Неопределенность вида ∞/∞
Исследование функций с помощью пределов и производных
Исследование функции на монотонность
Экстремумы функции
Наибольшее и наименьшее значения функции
Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
Асимптоты графика функции
Исследование функции и построение графика
Векторная функция скалярного аргумента
Определения
Предел и непрерывность
Производная и дифференциал