Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции

3-е изд., перераб. — Москва: Наука, 1967. — 464 с.
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для средних специальных учебных заведенийПредисловие к третьему изданию.
Элементы приближенных вычислений.
Источники приближенных чисел.
Абсолютная погрешность и ее граница.
Относительная погрешность.
Точные значащие цифры.
Действия над приближенными числами.
Правила подсчета значащих цифр.
Применение правил подсчета цифр.
Примеры более сложных вычислений по правилу подсчета значащих цифр.
Вычисления с наперед заданной точностью.
Упражнения.
Уравнения первой степени.
Общие понятия и определения.
Уравнения первой степени с одним неизвестным и их графическое решение.
Система линейных уравнений.
Способ алгебраического сложения.
Способ подстановки.
Решение линейной системы при помощи определителей.
Линейная система, определитель которой равен пулю.
Особые случаи линейных систем.
Примеры решения систем уравнений с буквенными коэффициентами.
Упражнения.
Неравенства.
Основные понятия и определения.
Свойства неравенств.
Действия над неравенствами.
Решение неравенств первой степени с одним неизвестным.
Отрезок. Промежуток.
Решение систем неравенств первой степени.
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
Понятие о доказательстве неравенств.
Графическое решение неравенств.
Упражнения.
Действительные числа.
Вводное замечание.
Рациональные числа.
Измерение отрезков.
Десятичное измерение отрезков.
Рациональные приближения действительных чисел.
Геометрическое изображение действительных чисел.
Степень с рациональным показателем., Степень с натуральным показателем.
Степень с нулевым и целым отрицательным показателем.
Понятие корня.
Основные тождества, на которых основаны преобразования корней и действия над ними.
Извлечение квадратного корня с заданной степенью точности.
Освобождение дроби от квадратной иррациональности в знаменателе.
Простейший вид радикала. Подобие радикалов.
Сложение и вычитание радикалов.
Умножение и деление более сложных иррациональных выражений.
Преобразование сложного радикала.
Степень с дробным показателем.
Примеры на все действия над радикалами.
Упражнения.
Основные сведения о функциях. Квадратный трехчлен и его график.
Вводное замечание.
Основные понятия и определения.
Способы задания функции.
Область определения функции.
Некоторые свойства функций, используемые при построении графиков.
Линейная функция и ее график.
Квадратный трехчлен. Вводные замечания.
График функции у = ах2.
График функции у = ах2 + n.
График функции у = (х - m)2.
График функции у = (х – m)2 + n.
График функции у = ах2 + bх + с.
Об цее заключение о квадратном трехчлене.
Задачи на квадратный трехчлен.
Построение графиков более сложных функций.
Упражнения.
Квадратные уравнения.
Связь (зависимость) между квадратным трехчленом и квадратным уравнением.
Основные понятия и определения.
Неполные квадратные уравнения.
Приведение полного квадратного уравнения к виду (x + m)2 = n (n 0).
Вывод формулы корней приведенного квадратного уравнения.
Общая формула корней квадратного уравнения.
Свойства корней квадратного уравнения.
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Исследование корней квадратного уравнения.
Решение задач, основанных на свойствах корней квадратного уравнения.
Задачи на квадратные уравнения.
Биквадратное уравнение.
Исследование корней биквадратного уравнения.
Уравнения, приводящиеся к квадратным.
Решение уравнений степени выше второй разложением левой части на множители.
Неравенства второй степени.
Исследование знака квадратного трехчлена.
Решение неравенств второй степени.
Теоремы о равносильности уравнений.
Потерянные и посторонние корни.
Посторонние корни иррационального уравнения.
Решение иррациональных уравнений.
Системы уравнений второй степени и их решение.
Искусственные приемы решения систем уравнений.
Графический способ решения системы уравнений.
Упражнения.
Векторы.
Положительные и отрицательные отрезки на оси.
Понятие вектора.
Действия над векторами.
Проекция вектора на ось.
Координаты вектора.
Разложение вектора по координатным осям.
Скалярное произведение двух векторов.
Различные задачи на векторы.
Упражнения.
Тригонометрические функции любого угла.
Обобщение понятия угла.
Радианная мера углов.
Зависимость между радианной и градусной мерами углов.
Длина дуги окружности.
Определение тригонометрических функций любого угла.
Знаки тригонометрических функций.
Изменение тригонометрических функций при изменении угла в пределах первой окружности.
Построение угла по заданному значению тригонометрической функции.
Значения тригонометрических функций некоторых углов.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Вычисление значений всех тригонометрических функций по заданному значению одной из них.
Разные примеры и задачи.
Доказательство тождеств.
Приведение тригонометрических функций отрицательного аргумента к функциям положительного аргумента.
Формулы приведения.
Общность формул приведения.
Два правила для запоминания формул приведения.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Периодичность тригонометрических функций.
Графики тригонометрических функций.
Упражнения.
Преобразования тригонометрических выражений.
Косинус и синус суммы (разности) двух углов.
Скалярное произведение двух векторов, выраженное через их координаты.
Тангенс суммы и разности двух углов.
Тригонометрические функции двойного аргумента.
Тригонометрические функции половинного аргумента.
Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла.
Примеры на доказательство тождеств.
Преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение и обратные преобразования.
Введение вспомогательного угла.
Примеры на преобразования тригонометрических выражений.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Общий вид углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции.
Примеры более сложных тригонометрических уравнений.
Упражнения.
Обратные тригонометрические функции.
Прямая и обратная функции.
Функция арксинус.
График функции у = arcsin x.
Функция арктангенс.
График функции у = arctg x.
Обратные функции агссоs x и агсsin х.
Некоторые тождества, связывающие обратные тригонометрические функции.
Выражение любой обратной тригонометрической функции через остальные.
Примеры на обратные тригонометрические функции.
Некоторые примеры тригонометрических уравнений.
Общие указания к решению тригонометрических уравнений.
Графики функций, получающиеся преобразованием синусоиды.
Графическое решение тригонометрических уравнений.
Простое гармоническое колебание.
Упражнения.
Прогрессии.
Числовая последовательность.
Графическая иллюстрация последовательности.
Арифметическая прогрессия.
Формула любого члена арифметической прогрессии.
Среднее арифметическое.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Геометрическая иллюстрация суммы Sn.
Примеры на применение формулы суммы Sn.
Сумма квадратов первых п чисел натурального ряда.
Геометрическая прогрессия.
Формула любого члена геометрической прогрессии.
Среднее геометрическое.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии.
Метод математической индукции.
Задачи на прогрессии.
Упражнения.
Показательная функция и логарифмы.
Степень с иррациональным показателем.
Показательная функция.
Графики показательных функций.
Свойства показательной функции.
График показательной функции у = Саkх.
Понятие логарифма.
Логарифмическая функция и ее график.
Свойства логарифмической функции.
Практическое значение логарифмов.
Общие свойства логарифмов.
Логарифмирование произведения и частного.
Потенцирование.
Система десятичных логарифмов.
Вычисление логарифма.
Действия над логарифмами.
Дополнительный логарифм.
Таблицы логарифмов.
Таблицы антилогарифмов.
Примеры на вычисления с применением логарифмов.
Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой.
Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения.
Решение простейших показательных и логарифмических неравенств.
Примеры графического решения уравнений и неравенств.
Упражнения.
Логарифмическая линейка.
Части логарифмической линейки и названия шкал.
Логарифмическая шкала.
Свойства логарифмической шкалы.
О делениях на основной шкале.
Установка и чтение чисел па основной шкале.
Умножение на линейке.
О порядке чисел.
Подсчет порядка.
Деление.
Примеры с умножением и делением.
О делениях на шкале квадратов.
Умножение и деление на шкале квадратов.
Возведение чисел в квадрат.
Извлечение квадратного корня из чисел.
Возведение чисел в куб.
Извлечение кубического корня из чисел.
Простейшие комбинированные действия.
Отыскание десятичных логарифмов чисел.
Нахождение с помощью логарифмической линейки числа по данному его логарифму.
Примеры вычислений с помощью шкалы логарифмов.
Вычисление площади круга и обратная задача.
Шкала синусов.
Нахождение синуса угла, заключенного между 5°44' и 90°.
Нахождение угла по его синусу, если порядок синуса равен 0.
Нахождение тангенса угла, заключенного между 5°44' и 45°.
Нахождение угла по данному значению тангенса, если порядок тангенса равен 0.
Нахождение тангенса угла а, если 45° а 84°17'.
Нахождение синуса и тангенса малых углов (44' а 5°44').
Упражнения.
Комплексные числа и действия над ними.
Комплексные числа.
Геометрическое представление комплексных чисел.
Сложение комплексных чисел.
Вычитание комплексных чисел.
Умножение комплексных чисел.
Деление комплексных чисел.
Степени мнимой единицы.
Возведение в степень комплексного числа.
Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Геометрическое истолкование умножения комплексных чисел.
Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Возведение в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.
Извлечение корня из комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Показательная форма комплексного числа.
Различные задачи на комплексные числа.
Упражнения.
Элементы теории пределов.
Примеры на повторение понятия функции и общих свойств функций.
Некоторые приемы построения графиков функций.
Элементарные функции.
Свойства абсолютных величин.
Предел последовательности.
Геометрическая иллюстрация приближения последовательности к пределу.
Предел функции.
Бесконечно малая функция.
Бесконечно большая функция.
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величинами.
Свойства бесконечно малых функций.
Теоремы о пределах.
Признак существования предела последовательности.
Длина окружности как предел.
Вычисление длины окружности.
Два замечательных предела.
Примеры на отыскание пределов.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.
Сравнение бесконечно малых величин.
Эквивалентные бесконечно малые.
Приращение аргумента и функции.
Непрерывность функции.
Свойства функции, непрерывной на отрезке.
Упражнения.
Производная.
Вводное замечание.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Определение производной.
Общее правило отыскания производной.
Упражнения.
Ответы к упражнениям.
Приложение. Основные формулы для справок.