Александров А.Д. Выпуклые многогранники

М.; Л.: Госиздательство технико-теоретической литературы, 1950. — 429 с.Настоящая книга не имеет целью охватить всё учение о выпуклых многогранниках. Она посвящена в основном вопросу о том, какие данные и в какой степени могут определять выпуклый многогранник. Книга состоит из 11 глав. В первой главе вводятся все основные понятия и свойства выпуклых многогранников, используемые в дальнейшем изложении. Она не предполагает никаких предварительных знаний, кроме элементарной геометрии. Вторая глава содержит изложение основ применяемого метода и обзор главных результатов, которые выводятся в следующих главах. Весь топологический материал, необходимый для понимания книги, излагается отдельно, поэтому никаких предварительных топологических знаний не требуется. По ходу изложения сформулирован ряд задач, большинство из которых служит в качестве упражнений, некоторые же представляют нерешённые проблемы, могущие служить темой для самостоятельных исследований.Предисловие.
Основные понятия и простейшие свойства выпуклых многогранников.
Определение выпуклого многогранника.
Задание многогранника плоскостями граней.
Задание замкнутого многогранника его вершинами.
Задание бесконечного многогранника вершинами и предельным углом.
Сферическое изображение.
Развёртка.
Топологические свойства многогранников и развёрток.
Некоторые теоремы из внутренней геометрии развёрток.
Метод и результаты.
Лемма Коши.
Задание многогранника развёрткой.
Многогранники с данными направлениями граней.
Многогранники с вершинами на данных лучах.
Теоремы жёсткости.
Переход от многогранников к кривым поверхностям.
Основные понятия топологии.
Теорема об инвариантности области.
Единственность многогранника с данной развёрткой.
Несколько лемм о многогранных углах.
Равенство двугранных углов при равенстве плоских углов.
Единственность многогранника с данной развёрткой.
Бесконечные многогранники с кривизной, меньшей 2π.
Многогранники, имеющие границу.
Существование многогранника с данной развёрткой.
Многообразие развёрток.
Многообразие многогранников.
Существование замкнутого выпуклого многогранника с данной развёрткой.
Существование бесконечного выпуклого многогранника с данной развёрткой.
Существование бесконечного многогранника с данной развёрткой и данным предельным углом.
Склеивание и изгибание многогранников с границей.
Склеивание многогранников с границей.
Изгибание выпуклых многогранников.
Условия равенства многогранников с параллельными гранями.
Леммы о выпуклых многоугольниках.
О линейной комбинации многогранников.
Условие равенства замкнутых многогранников.
Условие равенства бесконечных многогранников.
Другое доказательство и обобщение теоремы о бесконечных многогранниках. О многогранниках с границей.
Теоремы существования для многогранников с данными направлениями граней.
Существование многогранника с данными площадями граней.
Существование многогранника с данными площадями граней по Минковскому.
Существование бесконечного многогранника с данными площадями граней.
Общая теорема существования для бесконечного многогранника.
Существование выпуклого многогранника с данными опорными числами.
Связь условия равенства многогранников с параллельными гранями с другими задачами.
Параллелоэдры.
Многогранник наименьшей площади при заданном объёме.
Смешанные объёмы и неравенство Брунна.
Многогранники с вершинами на данных лучах.
Замкнутые многогранники.
Бесконечные многогранники.
Жёсткость выпуклого многогранника со стационарной развёрткой.
Деформации многогранного угла.
Усиленная лемма Коши.
Стационарность двугранных углов многогранника при стационарности его плоских углов.
Жёсткость многогранников и равновесие стержневых систем.
О деформациях развёрток.
Жёсткость многогранника со стационарной развёрткой.
Условия жёсткости многогранника с данными направлениями.
О деформациях многоугольников.
Теоремы о жёсткости многогранников.
Связь теорем о жёсткости друг с другом и с теорией смешанных объёмов.