Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа

Изд. 2-е, перераб. — М.: Наука, 1965. — 513 с.С момента выхода в свет первого издания настоящей книги прошло свыше десяти лет. За это время происходило как всестороннее развитие функционального анализа, так и интенсивное проникновение идей и методов функционального анализа в различные разделы математики, да и не только математики. Функциональным анализом начинают все более широко пользоваться механики и инженеры, не говоря уже о физиках, которые одни из первых стали применять функционально-аналитические понятия и методы в своих теоретических исследованиях. По сравнению с первым, второе издание книги перепланировано, выпущен ряд небольших по объему вопросов, чаще всего либо несколько выпадавших из общего плана изложения, либо носивших иллюстративный характер, добавлено довольно много нового материала. Наиболее значительными добавлениями является включение пространств С.Л. Соболева и теорем вложения для этих пространств, теории Рисса—Шаудера линейных операторных уравнений с вполне непрерывными операторами в произвольных банаховых пространствах, принципа неподвижной точки Ю. Шаудера, основ спектральной теории неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. Вместе с тем, как и в первом издании, не развиваются или не рассматриваются такие важные разделы функционального анализа, как топологические линейные пространства, нормированные кольца, теория представлений, полуупорядоченные пространства, обобщенные функции и их приложения и пр. Авторы исходили из известного принципа К. Пруткова о невозможности объять необъятное и отсылают читателя, интересующегося указанными вопросами, к другим монографиям.Введение
Обобщение основных понятий анализа, геометрии и алгебрыМетрические пространства
Функциональная зависимость. Пространство. Упорядоченность
Метрические пространства
Примеры метрических пространств
Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств
Пополнение метрических пространств
Теоремы о полных пространствах
Принцип сжатых отображений
Сепарабельные пространстваЛинейные нормированные пространства
Линейные пространства
Линейные нормированные пространства
Линейные топологические пространства
Абстрактное гильбертово пространство
Обобщенные производные и пространства С. Л. СоболеваЛинейные операторы
Линейные операторы
Линейные операторы в линейных нормированных пространствах
Линейные функционалы
Пространство линейных ограниченных операторов
Обратные операторы
Пространство Банаха с базисомЛинейные функционалы
Теорема Банаха — Хана и ее следствия
Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах
Сопряженные пространства и сопряженные операторы
Слабая сходимость последовательностей функционалов и элементовКомпактные множества в метрических и нормированных пространствах
Определения. Общие теоремы
Критерии компактности множеств в некоторых функциональных пространствах
Универсальность пространства C [0,1]Вполне непрерывные операторы
Вполне непрерывные операторы
Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами
Принцип Шаудера и его применения
Полная непрерывность оператора вложения С. Л. СоболеваЭлементы спектральной теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве
Самосопряженные операторы
Унитарные операторы. Проекционные операторы
Положительные операторы. Квадратный корень из положительного оператора
Спектр самосопряженного оператора
Спектральное разложение самосопряженного оператора
Неограниченные линейные операторы. Основные понятия и определения
Самосопряженные операторы и теория расширений симметрических операторов
Спектральное разложение неограниченного самосопряженного оператора. Функции самосопряженного оператора
Примеры неограниченных операторовНекоторые вопросы дифференциального и интегрального исчислений в линейных нормированных пространствах
Дифференцирование и интегрирование абстрактных функций числового аргумента
Разностные схемы и теорема Лакса
Дифференциал абстрактной функции
Теорема об обратном операторе. Метод Ньютона
Однородные формы и многочлены
Дифференциалы и производные высших порядков
Дифференцирование функций двух переменных
Теорема о неявных функциях
Приложения и теоремы о неявных функциях
Касательные многообразия
Задачи на экстремумДополнения
Классы L_p, p 1
Непрерывность в среднем функций класса L_p(G)
Теорема Боля — Брауэра
Два определения n-й производной функции вещественного переменного.