Хадвигер Г. Лекции об объеме площади поверхности и изопериметрии

Москва: Наука, 1966. - 416 с.Настоящая книга объединяет материал различных лекционных курсов, посвященных теории объемов, изопериметрическим проблемам, теории выпуклых тел и общей интегральной геометрии, которые я читал в последние годы в Бернском университете. За исключением отдельных лекций специального характера, эти курсы соответствовали учебной программе общего введения в высшую математику и были предназначены для слушателей младших и средних семестров.Элементарная геометрия многогранников
Понятие многогранника
Пространство, точка и направление
Выпуклый многогранник
Симплекс
Многогранник
Элементарно-геометрическое разложение
Симплициальное разложение
Категории многогранников. Способы образования многогранников
Элементы геометрии многогранников
Различные виды соответствий между многогранниками
Сложение Минковского
Линейные семейства многогранников
Параллелотопы
Симплотопы
Каноничесное симплициальное разложение
Цилиндры
Равносоставленность
Умножение многогранника на целое число
Т-равносоставленность
Параллелотоп и определитель
Ортогональное дополнение
Цилиндрические классы
Сравнения разложений
Леммы о разложениях
Умножение многогранника на рациональное число
Примечания
Элементарный объем
Основы теории объема многогранников
Постулаты объема
Простые следствия
Теорема единственности
Теорема существования
Инвариантность и однородность
Элементарный объем
Независимость постулатов объема
Равновеликость и равносоставленность
Равносоставленность и равнодополняемость
Проблема Гильберта-Дена.Критерии равносоставленности
Функционалы объема Иессена
Цилиндрические сравнения разложения; их критерии
Формальный главный критерий
Линейные функционалы и Т-сравнение разложений
Теорема о равносоставленности при сложении Минковского
Нечетная и четная размерности
Многогранники и решетки
Равносоставленность интервалов
Объем и площадь поверхности многогранников
Формулы для объема и площади поверхности
Аксиоматические характеристики
Теорема о продолжении
Примечания
Жорданов объем и лебегова мера
Точечные множества
Точечные множества; обозначения
Классы множеств
Простые леммы
Равносоставленность
Парадоксы равносоставленности
Параллелотопы и равносоставленность
Система объема и система меры
Понятие о системе объема; постулаты объёма
Простые следствия
Дальнейшие свойства
Различные предложения и теоремы
Понятие системы меры
Жорданов объем
Внешний и внутренний жорданов объем
Жорданова система объема
Измеримость по Жордану, ее критерии
Характеристика жорданова объема
Лебегова мера
Внешняя и внутренняя лебегова мера
Лебегова система меры
Характеристика лебеговой меры
К общей проблеме объема и меры
Различные постановки вопроса
Эквивалентность разложений и равновеликость
Объем Тарского
Нормальная система и банахова система
Примечания
Избранные вопросы геометрии множеств
Линейные измерения точечных множеств
Ширина, диаметр и толщина
Коэффициенты избытка и недостатка и радиусы
Элементарные неравенства
Операции Минковского над множествами
Сложение и вычитание Минковского
Внешние и внутренние множества
Параллельные множества
Линейные, выпуклые и вогнутые пучки множеств
Сходимость множеств и теорема выбора
Метрика и сходимость
Теорема выбора
Непрерывные и полунепрерывные пучки множеств
Геометрия множеств и объем
Объем и пучки множеств; теорема Брунна
Внешние поперечные меры; неравенства
Внутренние поперечные меры; теорема Фубини
Симметризация, усреднение, округление
Симметризация Штейнера
Усреднение
Теоремы округления
Неравенство Бибербаха
Объемный радиус; теорема Э. Шмидта
Примечания
Объем, площадь поверхности, изопериметрия
Меры поверхности по Минковскому
Внутренняя и внешняя относительные меры поверхности
Относительные поверхностные меры
Обыкновенные меры поверхности
Изопериметрическое неравенство
Теорема Брунна-Минковского
Изопериметрическая теорема
Параллельное разложение объемов
Доказательства теорем
Изопериметрическое свойство шара
Примечания
Выпуклые тела и общая интегральная геометрия
Выпуклые тела и их основные меры
К геометрии собственных выпуклых tтел
Функционалы на выпуклых телах
Аппроксимация многогранниками
Объем и площадь поверхности выпуклого тела
Формула Коши для площади поверхности
Интегралы поперечных мер Минковского; интегральная рекурсивная формула Кубота
Норма и средняя ширина
Формулы Штейнера для параллельных тел
Специальные формулы; элементарные тела
Характеристика интегралов поперечных мер
Теоремы интегральной геометрии; интегральные формулы
Кинематическая плотность и интеграл
Интегральные формулы с объемом и площадью поверхности
Одно интегральное соотношение для пары многогранников
В-интегралы и сложение Минковского
Проекции и пересечения; формулы Коши и Крофтона
В-интегралы при аффинных деформациях
Средняя аффинная производная по направлению
Общие интегральные теоремы
Кольцо выпуклости
Аддитивные функционалы
Характеристика Эйлера – Пуанкаре
Интегралы поперечных мер в кольце выпуклости
Ассоциированные функционалы и общая интегральная теорема
Ocновная кинематическая формула Блишке и Сантало
Полная кинематическая система формул
Вогнутые функционалы от выпуклых тел
Выпуклые классы выпуклых тел; вогнутые функционалы
Корни из объема и площади поверхности
Тела вращения
Вогнутые и выпуклые каналовые пучки
Интегралы от степеней вогнутых функционалов
Интегралы от степеней хорды и ширины
Плоские моменты
Гармонические интегралы поперечных мер
Изопериметрическое неравенство
Изопериметричесеое неравенство; изопериметрическая разность
Уточнение сравнением с вписанным шаром
Цилиндр и конус
Параллелотоп и симплекс
Форм-тело; уточнения Боля и Дингхаса
Выпуклые многогранники; теорема Линделефа
Интегралы от поперечных мер и изопериметрия шара
Смешанные интегралы от поперечных мер и линейные неравенства для тел вращения
Неравенства Фенхеля
Об одном полном пучке экстремальных тел вращения
Примечания
Библиография
Именной указатель
Предметный указатель