Сарнак П. Модулярные формы и их приложения

М.: Фазис, 1998. — xviii, 134 с.Книга написана известным американским математиком, профессором Принстонского университета Питером Сарнаком, активно работающим в нескольких математических областях; ему принадлежат многие из излагаемых результатов. В ней идет речь о серьезных достижениях, полученных в последние десятилетия в нескольких весьма далеких друг от друга трудных задачах, и в то же время эта книга с успехом может читаться студентами 3-го курса математического факультета почти без обращения к другим источникам. Изучая по этой книге начала теории модулярных форм, читатель попутно узнает, что такое группы со свойством (Т) — свойством Каждана, каковы связи комбинаторных свойств графа и спектра его матрицы смежности, в чем сложность построения графов с большим обхватом и с большим хроматическим числом. Читатель приблизится к пониманию знаменитых гипотез Рамануджана и прогресса, достигнутого в их доказательстве П. Делинем, узнает, как влияет на ответ в задаче об инвариантной мере на сфере ее размерность и пространство функций, в котором инвариантное среднее определяется, и многое другое.Модулярные формы
Модулярные формы целого веса
Тэта-функции и модулярные формы полуцелого веса
Ряды Эйзенштейна
Ряды Пуанкаре
Операторы Гекке
Инвариантные средние на L^∞(Sⁿ)
Инвариантное среднее
Неединственность инвариантного среднего для L^∞(S¹)
Сведение к существованию ε-хороших множеств
Индуктивная конструкция
ε-хорошие множества в SO(3)
Распределение точек на сфере S²
Графы Рамануджана
Комбинаторные методы
Графы с большим обхватом и большим хроматическим числом
Расширители
Спектр графа
Явная конструкция графов Рамануджана
Доказательства
Оценки коэффициентов Фурье параболических форм полуцелого веса