Шевалле К. Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной

М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 335 с.Настоящая книга посвящена систематическому изложению теории алгебраических функций от одной переменной над произвольным полем констант. Достоинством книги является довольно удачное сочетание стройности изложения, проведенного с учетом последних достижений в абстрактной алгебре, с обилием фактического материала. В последней главе книги дается модернизированное изложение классической теории алгебраических функций от одной переменной над полем комплексных чисел. Книга представляет интерес для научных работников-математиков, аспирантов и студентов старших курсов математических факультетов, работающих в области алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел. Для ее чтения необходимы предварительные сведения из общей теории полей, а в последней главе — некоторые сведения из топологии и теории функций.Точки и дивизоры.
Поля алгебраических функций от одной переменной.
Точки.
Точки поля К(x).
Существование точек.
Функция порядка. Степень точки.
Теорема о независимости.
Дивизоры.
Дивизор функции.
Теорема Римана — Роха.
Род.
Распределения.
Дифференциалы.
Канонический класс.
Локальные компоненты дифференциала.
Поля эллиптических функций.
Полные р-адические расширения.
Определение р-адического пополнения.
Лемма Хензеля.
Структура р-адических пополнений.
Обобщение понятия распределения.
Вычеты дифференциала.
Расширения полей алгебраических функций от одной переменной.
Относительная степень и индекс разветвлений.
Случай нормальных алгебраических расширений.
Целые базисы.
Кронекеровские произведения коммутативных алгебр.
Расширение р-адического пополнения.
Разложения Пюизё.
Норма и конорма; след и кослед.
Дифферента.
Структура гиперэллиптических полей.
Расширения поля констант.
Трансцендентные сепарабельные расширения.
Относительно алгебраически замкнутые подполя.
Коммутативные алгебры.
Расширение поля констант.
Поведение точек при расширении поля констант.
Расширение поля констант и род поля.
Точные дифференциалы.
Дифференциал dx в поле К(x).
След и кослед дифференциалов.
Дифференциал dx в произвольном поле.
Дифференцирования полей.
Дифференцирования и дифференциалы.
Обобщение понятия коследа.
Дифференцирования поля констант.
Дифференциалы второго рода.
Риманова поверхность.
Определение римановой поверхности.
Мероморфные функции на римановой поверхности.
О сингулярной теории гомологии.
Периоды дифференциалов.
Билинейная функция j(ω, ω ').
Определение индексов пересечения.
Геометрические леммы.
Группы гомологии римановой поверхности.
Теорема Абеля.
Поля рода.
Риманова поверхность как аналитическое многообразие.
Билинейные неравенства Римана.