Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел

Пер. с англ. С.П. Демушкина. Под ред. А.Н. Паршина. — М.: Мир, 1987. — 415 с.Учебное пособие по теории чисел, написанное известными математиками из Канады и США. От читателя не требуется предварительных знаний. Авторы начинают с простейших понятий и примеров и доводят изложение до современных проблем и результатов теории чисел. В книге приведено много задач различной трудности вместе с указаниями для их решения.
Для математиков разной квалификации в качестве введения в предмет, для преподавателей и студентов вузов.Предисловие редактора перевода
Предисловие
Однозначное разложение на множители
Однозначное разложение на множители в Z
Однозначное разложение на множители в k[х]
Однозначное разложение на множители в областях главных идеалов
Кольца Z[i] и Z[ω]
Замечания
Упражнения
Применения однозначного разложения на множители
В Z бесконечно много простых чисел
Некоторые арифметические функции
Ряд Σ 1/р расходится
Рост функции π(х)
Замечания
Упражнения
Сравнения
Элементарные наблюдения
Сравнения в Z
Сравнение ах ≡ b (mod m)
Китайская теорема об остатках
Замечания
Упражнения
Структура группы U(Z/nZ)
Примитивные корни и структура группы U(Z/nZ)
n-степенные вычеты
Замечания
Упражнения
Квадратичный закон взаимности
Квадратичные вычеты
Квадратичный закон взаимности
Доказательство квадратичного закона взаимности
Замечания
Упражнения
Квадратичные суммы Гаусса
Алгебраические числа и целые алгебраические числа
Квадратичный характер числа 2
Квадратичные суммы Гаусса
Знак квадратичной суммы Гаусса
Замечания
Упражнения[/i]
Конечные поля
Основные свойства конечных полей
Существование конечных полей
Приложение к квадратичным вычетам
Замечания
Упражнения
Суммы Гаусса и Якоби
Мультипликативные характеры
Суммы Гаусса
Суммы Якоби
Уравнение хⁿ +уⁿ = 1 в F_p
Дальнейшие результаты о суммах Якоби
Применения
Общая теорема
Замечания
Упражнения
Кубический и биквадратичный законы взаимности
Кольцо Z[ω]
Кольца классов вычетов
Характер кубического вычета
Доказательство кубического закона взаимности
Другое доказательство кубического закона взаимности
Характер кубического вычета числа 2
Биквадратичный закон взаимности: предварительные сведения
Символ вычета степени 4
Биквадратичный закон взаимности
Рациональный биквадратичный закон взаимности
Построение правильных многоугольников
Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера
Замечания
Упражнения
Уравнения над конечными полями
Аффинное пространство, проективное пространство и многочлены
Теорема Шевалле
Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями
Замечания
Упражнения
Дзета-функция
Дзета-функция проективной гиперповерхности
След и норма в конечных полях[/i]
Рациональность дзета-функции гиперповерхности
Доказательство соотношения Хассе — Дэвенпорта
Последняя запись
Замечания
Упражнения
Теория алгебраических чисел
Алгебраические подготовительные результаты
Однозначность разложения на множители в полях алгебраических чисел
Ветвление и степень
Замечания
Упражнения
Квадратичные и круговые поля
Квадратичные числовые поля
Круговые поля
Снова квадратичный закон взаимности
Замечания
Упражнения
Соотношение Штикельбергера и закон взаимности Эйзенштейна
Норма идеала
Символ степенного вычета
Соотношение Штикельбергера
Доказательство соотношения Штикельбергера
Доказательство закона взаимности Эйзенштейна
Три приложения
Замечания
Упражнения
Числа Бернулли
Числа Бернулли; определения и приложения
Сравнения для чисел Бернулли
Теорема Хербранда
Замечания
Упражнения
[i]L-функции Дирихле
Дзета-функция
Частный случай
Характеры Дирихле
L-функции Дирихле
Ключевой шаг
Значения L(s,χ) в отрицательных целых числах
Замечания[/i]
Упражнения
Диофантовы уравнения
Общие сведения и первые примеры
Метод спуска
Теорема Лежандра
Теорема Софи Жермен
Уравнение Пелля
Сумма двух квадратов
Сумма четырех квадратов
Уравнение Ферма: экспонента 3
Кубические кривые с бесконечным числом рациональных точек
Уравнение [i]у² = х³ + k
Первый случай гипотезы Ферма для регулярных показателей
Диофантовы уравнения и диофантово приближение
Замечания
Упражнения
Эллиптические кривые
Общие замечания
Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической кривой
у² = х³ + D, локальный случай
у² = х³ - Dx, локальный случай
L-функции Гекке
у² = х³ - Dx, глобальный случай
у² = х³ + D, глобальный случай
Заключительные замечания
Замечания
Упражнения
Указания к отдельным упражнениям
Литература
Предметный указатель[/i]