Арнольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В. и др. Динамические системы-6. Особенности. 1. Локальная и глобальная теория

Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Том 6, научный редактор член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелидзе,
М. : 1988. - 275 с.
Этот научный труд знакомит читателя с основными понятиями теории особенностей дифференцируемых отображений, приводит начальный отрезок классификации гладких функций и излагает технику приведения функций к нормальным формам.
Рассмотрены топологические и алгебро-геометрические аспекты теории критических точек функций. Изложены основные понятия локальной теории Пикара—Лефшеца, то есть учения о ветвлении циклов и интегралов, зависящих от параметров. Подробно исследован основной объект этой теории — расслоение исчезающих когомологий (то есть ветвящихся контуров интегрирования), связанное с критической точкой, и, в частности, множество определения этого расслоения — дополнение к дискриминанту особенности. Рассматривается связь простых особенностей функций с классификацией простых групп Ли, группами, порожденными отражениями, и труппами кос.
В числе оригинальных результатов - вычисление нетривиальных когомологий дополнений к дискриминантам одномерных особенностей и применение их к теории алгоритмов, описание стабильных когомологий дополнений к дискриминантам всех особенностей, теоремы стабильной неприводимости стратов дискриминанта, несовпадение размерностей комплексных и вещественных стратов мю=const вещественных особенностей.
Излагается общая теория эквивалентности отображений. Реально возникающие математические и физические задачи приводят к исследованию свойств отображений относительно разнообразных отношений эквивалентности. При анализе конкретного отношения рассматривается ряд стандартных вопросов: Устойчиво ли данное отображение? Можно ли, хотя бы локально, считать его полиномиальным, что значительно облегчило бы вычисления? Имеет ли отображение версальную деформацию, то есть можно ли включить его в конечно параметрическое семейство, содержащее любые малые возмущения этого, отображения? Насколько упрощается классификация при переходе от жесткой дифференцируемой эквивалентности к менее обременительной топологической? Для многих отношений эквивалентности ответы на эти вопросы выглядят одинаково. Формулировки соответствующих теорем и достаточные условия их применимости составляют основное содержание третьей главы.
Описаны топологические характеристики особых множеств гладких отображений: классы когомологий, двойственные к множествам критических точек и нерегулярных значений; инварианты отображений, определяемые этими классами; структура пространств отображений, не имеющих особенностей того или иного типа.