Арнольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В. и др. Динамические системы-8. Особенности. 2. Классификация и приложения

Итоги науки и техники. — Научный редактор член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелидзе. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 255 с. — (Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Том 39).Хотя основной задачей авторов было единое изложение уже сформировавшейся теории, читатель встретит в томе и совсем недавние результаты, по-видимому, не известные еще даже специалистам.
Здесь определяется бифуркационная диаграмма отображения С2 в С3, формулируется теорема для дополнений к бифуркационным диаграммам простых особенностей, дается определение инварианта N Монда в духе «охоты за инвариантами», обращается внимание читателя на способ построения образа отображения по соответствующей функции на многообразии с краем. Вводится понятие версальной деформации функции с неизолированной особенностью в классе функций, критические множества которых — любые полные пересечения фиксированной размерности.
Разбирается, следуя В. И. Бахтину, топология четырех вариантов многообразия Максвелла особенности А5, описываются типичные перестройки функций максимума при изменении одного параметра из четырех и применяется этот анализ к исследованию перестроек ударных волн, распространяющихся в трехмерном пространстве (следуя И. А. Богаевскому); здесь же приведена формула А. А. Вакуленко «sec+tg» для числа компонент пространства функций Морса на прямой и его же формулы для числа компонент дополнений к стратам Максвелла.
Приведена классификации особенностей границы множества гиперболических дифференциальных уравнений (Б. З. Шапиро и А. Д. Вайнштейн) и особенностей границы множества фундаментальных систем решений лииейных дифференциальных уравнений (эта теория М. Э. Казаряна связана со стратификацией Шуберта многообразия Грассмана, с бифуркациями точек Вейерштрасса алгебраических кривых и с теорией фокальных многообразий проективных кривых). Обсуждаются особенности границы множества неосцилляционных систем (т. е. систем Чебышева) — связь этого вопроса со стратификацией Шуберта многообразия флагов и с порядками Брюа недавно обнаружена Б. З. и М. З. Шапиро. Исторически первым результатом, основанным на теории монодромии, является теорема Ньютона о неинтегрируемости плоских овалов; здесь доказываются многомерные обобщения этой теоремы и приводятся несколько новых формул Пикара—Лефшеца, естественно возникающих в этой задаче. Целый раздел посвящен теории лакун Петровского, изучающей регулярность фундаментальных решений гиперболических уравнений в частных производных вблизи волновых фронтов. Помимо прочего, здесь доказывается обращение локального критерия Петровского для гиперболических операторов общего положения.
Перечисляются локальные лакуны (области регулярности) для многих табличных особенностей волновых фронтов, в том числе для всех простых и всех особенностей коранга 2 с числом Милнора, не превышающим 11; значительная часть этих лакун была найдена с помощью машинного алгоритма, перечисляющего все не особые морсификации сложных вещественных особенностей; приводится описание этого алгоритма.