Прохоров Ю.В., Пономаренко Л.С. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Учебное пособие. — М.: Московский государственный университет (МГУ) имени М.В. Ломоносова, 2004. — 196 с.Настоящее учебное пособие основано на материале лекций, которые много лет читались студентам второго курса факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. Вашему вниманию предлагается самый краткий вариант. В отдельные годы он дополнялся и другими вопросами, и представление о полной программе этого двухсеместрового курса можно получить из приведенного в приложении 2 списка экзаменационных вопросов.Вероятностное пространство.
Конечное вероятностное пространство.
Классическая вероятность.
Генуэзская лотерея.
Игральные кости.
Случайные перестановки.
Игра в бридж.
Абсолютно случайные последовательности.
Случайные величины и случайные события.
Случайные величины.
Операции над случайными событиями.
Операции над индикаторами.
Свойства вероятности и математического ожидания.
Свойства вероятности.
Свойства математического ожидания случайных величин.
Вероятность появления хотя бы одного из n событий.
Независимость случайных событий и случайных величин
Условная вероятность. Независимость двух случайных событий
Независимость случайных величин. Взаимная независимость нескольких случайных событий
Свойства независимых случайных величин и взаимно независимых случайных событий
Критерий независимости случайных величин
Мультипликативное свойство математического ожидания независимых случайных величин
Суммирование независимых случайных величин
Производящая функция целочисленной случайной величины
Производящая функция моментов
Свойства числовых характеристик распределений сумм независимых случайных величин
Неравенства Чебышева. Отклонения сумм независимых случайных величин
Схемы Бернулли и Пуассона
Неравенства Чебышева
Отклонения сумм независимых случайных величин
Закон больших чисел
Закон больших чисел в форме Чебышева
Теорема Бернулли. Отклонение частоты наступления события от его вероятности
Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса
Неравенства для максимума сумм независимых случайных величин
Неравенство А.Н. Колмогорова
Неравенство Поля Леви
Математические основы теории вероятностей
Общее определение вероятностного пространства
Порожденные алгебры и σ - алгебры
Борелевские σ - алгебры множеств
Вероятностные меры или распределения вероятностей
Вероятностные меры в евклидовых пространствах
Вероятностные распределения на прямой
Вероятностные распределения на плоскости и в пространстве
Два основных типа распределений в евклидовых пространствах
Случайные величины
σ - алгебра, порожденная случайной величиной
Распределения случайных величин
Математические ожидания случайных величин (Общий случай)
Основные свойства математического ожидания
Независимые случайные величины
Мультипликативное свойство математического ожидания
Усиленный закон больших чисел
Лемма Бореля – Кантелли
Сходимость с вероятностью 1
Усиленный закон больших чисел
Предельные теоремы и метод характеристических функций
Обозначения и формулировки предельных теорем
Характеристические функции. Определение и свойства
Формулы обращения для характеристических функций
Свойство непрерывности соответствия характеристических функций и функций распределения
Примеры слабой сходимости последовательностей характеристических функций
Доказательство центральной предельной теоремы
Теорема Пуассона
Задачи математической статистики. Основные понятия
Сходимость по вероятности
Асимптотическая нормальность
Некоторые важные преобразования случайных величин
Эмпирическая функция распределения
Проверка гипотезы о виде распределения
Критерий согласия А.Н. Колмогорова
Критерий согласия Пирсона "хи – квадрат"
Проверка параметрических гипотез. Фундаментальная лемма Неймана – Пирсона
Квантили и процентные точки нормального распределения
Постановка задачи. Ошибки первого и второго рода
Лемма Неймана – Пирсона
Проверка гипотез о параметрах нормального распределения
Проверка гипотез о параметре биномиального распределения
Доверительные интервалы
Постановка задачи и основные определения
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
Построение доверительного интервала для дисперсии нормального распределения
Совместное распределение статистик X и S^2
Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормальной выборки при неизвестной дисперсии
Распределение Стьюдента
Асимптотический доверительный интервал для параметра p биномиального распределения
Точечные оценки для неизвестных параметров
Сравнение свойств несмещенных оценок
Семейства распределений
Метод максимального правдоподобия
Неравенство Рао - Крамера
Приложение 1. Основные распределения и их свойства
Приложение 2. Экзаменационные вопросы по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика