Нестеренко Ю.В. Теория чисел

Учебник для студентов высших учебных заведений. — М.: Академия, 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.Основу учебника составляют результаты элементарной теории чисел, сформировавшейся в трудах классиков — Ферма, Эйлера, Гаусса и др. Обзорно освещены свойства простых чисел, теория диофантовых уравнений, алгоритмические аспекты теории чисел с применениями в криптографии (проверка больших простых чисел на простоту, разложение больших чисел на множители, дискретное логарифмирование) и с использованием ЭВМ.Введение
О делимости чисел
Свойства делимости целых чисел
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Алгоритм Евклида
Решение в целых числах линейных уравнений
Задачи для самостоятельного решения
Простые и составные числа
Простые числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел
Основная теорема арифметики
Теоремы Чебышева
Дзета-функция Римана и свойства простых чисел
Задачи для самостоятельного решения
Арифметические функции
Мультипликативные функции и их свойства
Функция Мёбиуса и формулы обращения
Функция Эйлера
Сумма делителей и число делителей натурального числа
Оценки среднего значения арифметических функций
Задачи для самостоятельного решения
Числовые сравнения
Сравнения и их основные свойства
Классы вычетов. Кольцо классов вычетов по данному модулю
Полная и приведенная системы вычетов
Теорема Вильсона
Теоремы Эйлера и Ферма
Представление рациональных чисел бесконечными десятичными дробями
Проверка на простоту и построение больших простых чисел
Разложение целых чисел на множители и криптографические применения
Задачи для самостоятельного решения
Сравнения с одним неизвестным
Основные определения
Сравнения первой степени
Китайская теорема об остатках
Полиномиальные сравнения по простому модулю
Полиномиальные сравнения по составному модулю
Задачи для самостоятельного решения
Сравнения второй степени
Сравнения второй степени по простому модулю
Символ Лежандра и его свойства
Квадратичный закон взаимности
Символ Якоби и его свойства
Суммы двух и четырех квадратов
Представление нуля квадратичными формами от трех переменных
Задачи для самостоятельного решения
Первообразные корни и индексы
Показатель числа по заданному модулю
Существование первообразных корней по простому модулю
Построение первообразных корней по модулям рк и 2рк
Теорема об отсутствии первообразных корней по модулям, отличным от 2, 4, рк и 2рк
Индексы и их свойства
Дискретное логарифмирование
Двучленные сравнения
Задачи для самостоятельного решения
Цепные дроби
Теорема Дирихле о приближении действительных чисел рациональными
Конечные цепные дроби
Цепная дробь действительного числа
Наилучшие приближения
Эквивалентные числа
Квадратичные иррациональности и цепные дроби
Использование цепных дробей для решения некоторых диофантовых уравнений
Разложение числа е в цепную дробь
Задачи для самостоятельного решения
Алгебраические и трансцендентные числа
Поле алгебраических чисел
Приближения алгебраических чисел рациональными. Существование трансцендентных чисел
Иррациональность чисел ег и к
Трансцендентность числа е
Трансцендентность числа к
Невозможность квадратуры круга
Задачи для самостоятельного решения
Ответы и указания
Список литературы