Эрмит Шарль. Курс анализа

Пер. с фр. В.М. Озерецкого. — М.; Л.: ОНТИ, 1936. — 382 с.Курс этот издан не был, но сохранился в литографированном виде, составленном Андуайе; самое имя составителя ручается за точность изложения содержания; впрочем последнее, четвертое издание, было просмотрено самим Эрмитом.
А. Н. Коркин был по своим воззрениям противником Вейерштрасса, но он высоко ставил курс Эрмита, рекомендовал его изучение магистрантам и всем своим ученикам.
Можно лишь приветствовать издание этого курса, который не должен служить учебником при первоначальном изучении Анализа, а должен служить пособием для тех, кто желает глубже изучить этот предмет и вникнуть в дальнейшее развитие этого предмета за последние сорок или пятьдесят лет.Определение площади, ограниченной отрезком, и длины дуги плоской кривой. Площади эллипса, гиперболы, уникурсальных кривых, циклоиды.
Выражение площади, ограниченной кривой третьего порядка, через эллиптические интегралы. Подстановка, уничтожающая нечетные степени в полиноме четвертой степени. Площадь эллипса в полярных координатах и замечание относительно замены переменных в определенных интегралах.
Плоские кривые третьего порядка делятся на два класса, различие. Спрямление параболы, эллипса и гиперболы. Теоремы Фаньяно, Грэвса и Шаля о дугах эллипса со спрямляемой разностью. Приведение к каноническому виду интегралов.
Гиперэллиптические интегралы, приведение их к интегралам первого, второго и третьего рода. Приложение к спрямлению уникурсальных кривых.
Определение объема цилиндра, ограниченного плоскостью прямого сечения и некоторой поверхностью, и площади кривой поверхности. Аналитическое понятие двойного интеграла.
Геометрическое представление мнимой переменной; ее значение при изучении функций. Теорема об изменении аргумента бинома первой степени и полинома, когда переменная описывает замкнутый контур. Краткое исследование квадратного корня полинома. Однозначные и неоднозначные функции. Изучение функции lg(z - а).
Интегралы с вещественными пределами от мнимых функций. — Выражения Дарбу и Вейерштрасса для интеграла, когда F (х) сохраняет постоянный знак в пределах интегрирования. Определение Коши интеграла, взятого в некоторых границах, вещественных или мнимых; выражения, вытекающие из этого определения.
Влияние пути, описываемого переменной, в интеграле Коши. Метод Римана, основанный на теореме Грина. Доказательство теоремы Неймана и понятие о площадях, ограниченных несколькими контурами. Интеграл непрерывной и однозначной функции на заданной площадке, взятый по контуру, ограничивающему
эту площадку. Пример на вычисление интегралов, взятых по замкнутому контуру. Формула Коши.
Ряды Тейлора и Маклорена. Приложение к однозначным функциям. Элементарное доказательство иррациональности целых степеней е и отношения окружностей к диаметру. Приложение к неоднозначным функциям.
Теорема Лорана; аналитическое выражение однозначных функций, к которым она приводит. Исследование голоморфных функций; основные свойства; доказательство теоремы Вейерштрасса о разложении их на первичные множители, по методу Миттаг-Леффлера. Приложение к sin πx, разложение на множители,
выявление периодичности функции. О роде голоморфных функций по Лагерру.
Приложение теоремы Неймана о голоморфных функциях.
Приложение теоремы Миттаг-Леффлера. Определение чисел Бернулли. Доказательство по методу Пикара теоремы Римана. Доказательство теоремы Коши об интеграле от однозначной функции, взятом вдоль замкнутого контура. Определение вычетов и приложение теоремы о них.
Приложение теоремы Коши. Интегралы от рациональных дробей в бесконечных пределах. Теорема Виллиса.
Определение и основные свойства эйлеровых интегралов первого и второго рода. Нахождение интеграла Раабе по методу Лерха. Формула Эйлера разложения J в ряд.
Интеграл Эйлера второго рода, рассматриваемый как однозначная функция по всей плоскости. Выражение Прима. Определение Гаусса.
Примеры нахождения определенных интегралов с помощью разрезов.
И многое другое из теории аналитических функций и эллиптических интегралов.