Рудин У. Основы математического анализа

Перевод с английского В.П. Хавина. — М.: Мир, 1976. — 319 с.Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычного включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д. В конце каждой главы приводится удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги.
Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов и некоторых вузов. Она будет полезна аспирантам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.Системы вещественных и комплексных чисел.
Введение.
Дедекиндовы сечения.
Вещественные числа.
Расширенная система вещественных чисел.
Комплексные числа.
Евклидовы пространства.
Элементы теории множеств.
Конечные, счетные и несчетные множества.
Метрические пространства.
Компактные множества.
Совершенные множества.
Связные множества.
Числовые последовательности и ряды.
Сходящиеся последовательности.
Подпоследовательности.
Последовательности Коши.
Верхний и нижний пределы.
Некоторые специальные последовательности.
Ряды.
Ряды с неотрицательными членами.
Число е.
Другие признаки сходимости.
Степенные ряды.
Суммирование по частям.
Абсолютная сходимость.
Сложение и умножение рядов.
Перестановки рядов.
Непрерывность.
Предел функции.
Непрерывные функции.
Непрерывность и компактность.
Непрерывность и связность.
Разрывы функций.
Монотонные функции.
Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
Дифференцирование.
Производная вещественной функции.
Теоремы о среднем значении.
Непрерывность производных.
Правило Лопиталя.
Производные высших порядков.
Теорема Тейлора.
Дифференцирование векторнозначных функций.
Интеграл Римана — Стильтьеса.
Определение и существование интеграла.
Интеграл как предел сумм.
Интегрирование и дифференцирование.
Интегрирование векторнозначных функций.
Функции ограниченной вариации.
Дальнейшие теоремы об интегрировании.
Спрямляемые кривые.
Последовательности и ряды функций.
Вводные замечания.
Равномерная сходимость.
Равномерная сходимость и непрерывность.
Равномерная сходимость и интегрирование.
Равномерная сходимость и дифференцирование.
Равностепенно непрерывные семейства функций.
Теорема Стона — Вейерштрасса.
Дальнейшие сведения из теории рядов.
Степенные ряды.
Показательная и логарифмическая функции.
Тригонометрические функции.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Ряды Фурье.
Функции нескольких переменных.
Линейные преобразования.
Дифференцирование.
Теорема об обратной функции.
Теорема о неявной функции.
Теорема о ранге.
Теорема о разложении.
Определители.
Интегрирование.
Дифференциальные формы.
Симплексы и цепи.
Теорема Стокса.
Теория Лебега.
Функции множества.
Построение меры Лебега.
Измеримые функции.
Простые функции.
Интегрирование.
Сравнение с интегралом Римана.
Интегрирование комплексных функций.
Функции класса L².