Теляковский С.А. Курс лекций по математическому анализу. Семестр I

Издание 2-е, доработанное. — М.: МИАН, 2009. — 212 с. — (Лекционные курсы НОЦ; вып. 11).Серия «Лекционные курсы НОЦ» — рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В серии «Лекционные курсы НОЦ» публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в рамках программы Научно-образовательный центр МИАН.Настоящая брошюра содержит «Курс лекций по математическому анализу» С. А. Теляковского, читавшийся студентам первого курса механико-математического факультета МГУ в 1996–2006 годах.Введение
Действительные числа
Бесконечные десятичные дроби
Сравнение чисел
Точная верхняя и точная нижняя грани числового множества
Сложение чисел
Умножение чисел
Непрерывность множества действительных чисел
Последовательности вложенных отрезков
Дедекиндовы сечения
Об аксиоматическом определении действительных чисел
Счётные и несчётные множества
Предел последовательности
Определение предела последовательности
Свойства пределов, связанные с неравенствами
Арифметические свойства пределов
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Предел монотонной последовательности
Число e
Частичные пределы
Верхний и нижний пределы последовательности
Критерий Коши
Предел функции
Понятие функции
Определение предела функции
Свойства предела функции
Критерий Коши
Предел сложной функции
Односторонние пределы
Сравнение функций
Непрерывные функции
Непрерывность функции в точке
Классификация точек разрыва
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Равномерная непрерывность функций
Непрерывность обратной функции
Показательная функция
Элементарные функции
Примеры вычисления пределов
Производные и дифференциалы
Производная
Дифференциал функции
Производная обратной функции
Производная сложной функции
Производные и дифференциалы высших порядков
Свойства дифференцируемых функций
Локальные экстремумы функции
Теоремы о среднем
Раскрытие неопределённостей
Формула Тейлора
Формула Тейлора для элементарных функций
Исследование функций с помощью старших производных
Функции, выпуклые на промежутке
Некоторые классические неравенства
Кривые в трёхмерном пространстве
Векторнозначные функции
Определение кривой. Длина кривой
Гладкие кривые
Краткие сведения об ученых, упоминаемых в тексте