Львовский С.М. Лекции по математическому анализу

М.: МЦНМО, 2008. — 296 с. — ISBN: 978-5-94057-438-5.Книга представляет собой записки продвинутого курса анализа, прочитанного автором в 2006/07 годах в Независимом московском университете. В курсе на раннем этапе вводится понятие гладкого многообразия и уделяется много внимания векторным полям, дифференциальным формам, ориентациям и прочему материалу, лежащему между курсами анализа и дифференциальной геометрии. Из менее традиционных тем отметим пример Уитни и доказательство (в ослабленном варианте) теоремы регулярности для эллиптических систем.Предисловие.
Первый семестр.
Топологические пространства.
Непрерывность и пределы.
Действительные числа.
Компактность.
Связность; пополнение.
р-адические числа.
Канторово множество.
Производная.
Равномерная сходимость; равномерная непрерывность.
Интеграл.
Ряды.
Аналитические функции.
Элементарные функции.
Задачи к первому семестру.
Второй семестр.
Мера Лебега на R.
Интеграл Лебега.
Произведение мер; мера Лебега на R.
Производная.
Высшие производные.
Теорема об обратной функции.
Теорема о неявной функции.
Теорема Арцела—Асколи и дифференциальные уравнения.
Замена переменных в интеграле.
Теорема Сарда.
Пример Уитни.
Задачи ко второму семестру.
Третий семестр.
Многообразия и касательные пространства.
Касательные векторы, локальные кольца и векторные поля.
Фазовые кривые и фазовые потоки.
Интегрирование плотностей.
Дифференциальные формы.
Интегрирование форм по цепям.
Интегрирование форм по многообразиям.
Два слова о когомологиях де Рама.
Теорема Фробениуса.
Пространства L 1 и L2.
Преобразование Фурье в Rn: формула обращения.
Преобразование Фурье: дальнейшие свойства.
Распределения, они же обобщенные функции.
Пространства Соболева.
Эллиптические операторы.
Задачи к третьему семестру.