Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе

М.: Физматлит, 2009. — 248 с. — ISBN: 978-5-9221-1056-3.В монографии систематически излагаются основные понятия и методы асимптотического анализа, как классические, так и разработанные в последнее время. Книга будет полезна студентам и аспирантам математических и технических специальностей, а также исследователям, столкнувшимся с асимптотическими проблемами.Введение.
Асимптотические ряды.
Пример вычисления интеграла.
Асимптотические ряды. Определение.
Свойства асимптотических рядов.
Применение асимптотического метода для вычисления сумм и рядов.
Вывод формулы Эйлера.
Вспомогательные оценки.
Асимптотика частичной суммы гармонического ряда.
О вычислении суммы ряда S.
Метод Лапласа.
Предварительное исследование интеграла Лапласа.
Максимум показателя h(t) достигается на границе.
Максимум показателя h(t) достигается во внутренней точке. Асимптотика интеграла F(X) в частном случае.
Максимум показателя h(t) достигается во внутренней точке. Общий случай.
Асимптотика гамма-функции Эйлера.
Метод стационарной фазы.
Асимптотика интеграла при отсутствии стационарных точек.
Асимптотика интеграла в частном случае.
Асимптотика интеграла в случае одной стационарной точки.
Асимптотика интеграла в общем случае.
Асимптотика функции Бесселя.
Метод перевала.
Предварительное исследование интеграла.
Построение асимптотики интеграла методом перевала.
Асимптотика функции Эйри.
Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка на бесконечности.
Постановка задачи.
Ограниченные колеблющиеся решения.
Уравнения с экспоненциально растущими и с экспоненциально быстро стремящимися к нулю решениями.
Общее линейное уравнение второго порядка. Преобразования Лиувилля. Примеры.
Метод ВКБ.
Сингулярные задачи.
Сингулярные краевые задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Постановка задачи. Оценка решения.
Построение и обоснование асимптотического ряда решения сингулярной краевой задачи.
Простейшая бисингулярная задача.
Процесс согласования асимптотических разложений.
Асимптотика интеграла, зависящего от произведения разномасштабных функций.
Начальная задача для дифференциального уравнения с малым параметром при производной.
Постановка задачи. Построение формальной асимптотики.
Обоснование асимптотического разложения. Система уравнений.
Промежуточный пограничный слой.
Метод двух масштабов для дифференциального уравнения с малым параметром.
Постановка задачи. Построение формальной асимптотики.
Обоснование асимптотического разложения. Уравнение Ван дер Поля.
Дифференциальные уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами.
Постановка задачи. Построение предельного решения.
Построение формальной асимптотики.
Существование и единственность решения. Оценка решения. Обоснование асимптотики.
Задачи и упражнения.
Список литературы.