Сокольников И.С. Тензорный анализ (теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред)

М.: Наука, 1971. — 376 с.В основу книги положен курс лекций, читанных автором студентам старших курсов и аспирантам ряда североамериканских университетов. Книга может быть использована как учебное пособие впервые приступающим к изучению предмета и как справочник научными работниками и инженерами. Большая часть приложений тензорного анализа, рассматриваемых в книге, относится к аналитической механике и к механике сплошных сред. Последние главы книги представляют собой краткое введение в теорию относительности и механику деформируемых сред.Линейные векторные пространства. Матрицы
Координатные системы
Геометрическое понятие вектора
Линейные векторные пространства. Размерность пространства
N-мерные пространства
Линейные векторные пространства n измерений
Комплексные линейные векторные пространства
Соглашение о суммировании. Детерминанты
Линейные преобразования и матрицы
Линейные преобразования в евклидовом трехмерном пространстве
Ортогональное преобразование в Е₃
Линейные преобразования в n-мерных евклидовых пространствах
Приведение матриц к диагональной форме
Вещественные симметричные матрицы и квадратичные формы
Примеры приведения квадратичных форм
Классификация и свойства вещественных квадратичных форм
Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов
Унитарные преобразования и эрмитова матрицаТеория тензоров
Задача и содержание тензорного анализа. Инвариантность.
Преобразование координат
Свойства допустимых преобразований координат
Преобразования, индуцированные инвариантностью.
Ковариантные и контравариантные преобразования.
Понятие тензора. Контравариантный и ковариантный тензоры
Свойства ковариантного и контравариантного законов преобразования тензоров
Алгебра тензоров
Правило частного
Симметричные и кососимметричные тензоры
Относительные тензоры
Метрический тензор
Фундаментальный тензор и ассоциированные с ним тензоры.
Символы Кристоффеля
Преобразование символов Кристоффеля
Ковариантное дифференцирование тензоров
Формулы ковариантного дифференцирования
Теорема Риччи
Тензор Римана - Кристоффеля
Свойства тензоров Римана - Кристоффеля
Тензор Риччи. Тождества Бьянки. Тензор Эйнштейна.
Пространства Римана и Евклида. Теорема существования.
е-системы и обобщенные дельты Кронекера
Применение е-систем к детерминантам. Тензорный характер обобщенных дельт КронекераГеометрия
Неевклидовы геометрии
Длина дуги
Криволинейные координаты в Е₃
Взаимные базисные системы. Ковариантные и контравариантные векторы
О смысле ковариантных производных
Внутреннее дифференцирование
Параллельные векторные поля
Геометрия кривых в пространстве
Формулы Серре - Френе
Уравнения прямой линии
Криволинейные координаты на поверхности
Внутренняя геометрия. Первая фундаментальная квадратичная форма. Метрический тензор
Угол между двумя пересекающимися кривыми на поверхности. Элемент площади поверхности
Основные понятия вариационного исчисления
Уравнение Эйлера в простейшем случае
Уравнения Эйлера для функционала от нескольких аргументов
Геодезические линии в R_n
Геодезические координаты
Параллельные векторные поля на поверхности
Изометрические поверхности
Тензор Римана - Кристоффеля и гауссова кривизна.
Геодезическая кривизна поверхностных кривых
Поверхности в пространстве
Нормаль к поверхности
Тензорные производные.
Вторая фундаментальная форма поверхности
Условия интегрируемости
Формулы Вейнгартена и уравнения Гаусса и Кодацци.
Средняя и полная кривизна поверхности
Кривые на поверхности. Теорема Менье
Главные кривизны поверхности
Параллельные поверхности
Теорема Гаусса - Бонне
n-мерные многообразияАналитическая механика
Основные понятия. Кинематика
Законы Ньютона. Динамика
Уравнения движения частицы. Работа. Энергия
Уравнения движения Лагранжа
Применения уравнений Лагранжа
Определение вариации
Принцип Гамильтона
Интеграл энергии
Принцип наименьшего действия
Системы частиц. Обобщенные координаты
Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах
Виртуальная работа и обобщенные силы
Неголономные системы
Иллюстративные примеры
Канонические уравнения Гамильтона
Закон тяготения Ньютона
Теоремы преобразования интегралов
Теорема Гаусса. Решение уравнения Пуассона
Третье тождество Грина. Гармонические функции
Функции Грина и Неймана
Функции Грина для полубесконечного пространства и сферических областей
Задача двух телРелятивистская механика
Инвариантность физических законов
Частная или специальная теория относительности
Собственные или локальные координаты
Уравнение энергии Эйнштейна
Общая теория относительности. Возникновение и перспективы развития
Гравитационные уравнения Эйнштейна
Сферически-симметричное статическое поле
Орбиты планет
Смещение перигелия
Заключительные замечанияМеханика сплошных сред
Вводные замечания
Деформирование сплошной среды
Геометрическая интерпретация тензоров Е₀ и Е
Квадрика деформаций. Главные деформации
Относительное изменение элементов объема
Перемещения в сплошных средах
Уравнения совместности
Анализ напряженного состояния
Дифференциальные уравнения равновесия
Виртуальная работа
Законы термодинамики
Упругие среды
Соотношения напряжение - деформация в изотропных упругих средах
Уравнения упругости
Гидромеханика. Уравнения неразрывности
Идеальные жидкости. Уравнения Эйлера
Вязкие жидкости. Уравнения Навье
Замечания о турбулентных течениях и диссипативных средах